[Cerc2005]Knights of the Round Table

题目描述

有n个骑士经常举行圆桌会议，商讨大事。每次圆桌会议至少有3个骑士参加，且相互憎恨的骑士不能坐在圆桌的相邻位置。如果发生意见分歧，则需要举手表决，因此参加会议的骑士数目必须是大于1的奇数，以防止赞同和反对票一样多。知道那些骑士相互憎恨之后，你的任务是统计有多少骑士不可能参加任何一个会议。

输入格式

包含多组数据，每组数据格式如下： 第一行为两个整数n和m（1<=n<=1000, 1<=m<=10^6）。 以下m行每行包含两个整数k1和k2(1<=k1,k2<=n），表示骑士k1和k2相互憎恨。 输入结束标记为n=m=0

输出格式

对于每组数据，在一行中输出一个整数，即无法参加任何会议的骑士个数。

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我们显然需要让没有憎恨关系的骑士来参加会议。所以我们可以先建出原图的补图。

然后我们发现，如果一些骑士要参加会议，那么这些骑士就要构成一个奇环。因为如果是偶环，那么环上的点就不能选完，也就是说必定会有有两个没有连边的点相邻着坐下。而邻座不能是憎恨的人，又由于我们建的是补图，没连边的点就是憎恨的骑士。所以偶环上的骑士不能参加会议。

既然建的是补图，我们随便造个数据画一画可以隐约感觉到，不在同一个点双内的骑士不能参加同一次会议。

其实原因也很简单，因为如果可以参加同一次会议，那么这两个点必须在同一个奇环内。而它们又不在同一个点双内，就不可能在同一个奇环内。

然后这里有一条点双的定理：

如果一个点双内部有奇环，那么整个点双的所有点也必定在某个奇环内。

下面给出证明：我们在点双的奇环上取两个点u,v，那么必定存在奇环外的一个点w，使得u,v,w构成一个简单环。那么u->w的路径和v->w的路径上的点数就可能是奇或偶。不过无论奇或偶，都能跟原来的奇环构成另一个奇环，因为u通过奇环到达v有两条路径，这两条路径要么是奇数个点，要么是偶数个点，所以可以构成另一个奇环。

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所以我们的算法出来了：

首先我们可以用Tarjan找出图中所有点双连通分量，然后枚举每个点双连通分量，我们判断它是不是一个奇环。判断奇环的方法就是：

根据二分图的定义，一张二分图是不可以有奇环的。所以我们可以判断这个点双是否是二分图，如果不是那就有奇环。最后答案就是人数减去有奇环的点双的点数和。

时间复杂度为O(N^2+M)，N2是因为要建补图。其它的时间复杂度都是O(N+M)。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define maxn 1001
#define maxm 1000001
using namespace std;

vector<int> to[maxn],dcc[maxn];
bool g[maxn][maxn],able[maxn];//able表示能够参加会议
int dfn[maxn],low[maxn],tot;
int stack[maxn],top;
int col[maxn],cnt;
int vis[maxn];
int n,m,ans;

inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}

inline void init(){
    for(register int i=1;i<=n;i++) for(register int j=1;j<=n;j++) g[i][j]=false;
    for(register int i=1;i<=n;i++) dfn[i]=low[i]=vis[i]=col[i]=able[i]=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++) to[i].clear(),dcc[i].clear();
    tot=cnt=0,ans=0;
}

void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    stack[++top]=u;
    for(register int i=0;i<to[u].size();i++){
        int v=to[u][i];
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(dfn[u]<=low[v]){
                int w; cnt++;
                do{ w=stack[top--],dcc[cnt].push_back(w); }while(w!=v);
                dcc[cnt].push_back(u);
            }
        }else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}

bool check(int u,int c,const int &id){
    vis[u]=c;
    for(register int i=0;i<to[u].size();i++){
        int v=to[u][i];
        if(col[v]!=id) continue;
        if(!vis[v]){
            if(check(v,3-c,id)) return true;
        }else if(vis[v]==c) return true;
    }
    return false;
}

int main(){
    while(scanf("%d %d",&n,&m)==2&&n&&m){
        init();
        for(register int i=1;i<=m;i++){
            int u=read(),v=read();
            g[u][v]=g[v][u]=true;
        }
        for(register int i=1;i<=n;i++){
            for(register int j=1;j<i;j++) if(!g[i][j]){
                to[i].push_back(j),to[j].push_back(i);
            }
        }

        for(register int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
        for(register int i=1;i<=cnt;i++){
            for(register int j=0;j<dcc[i].size();j++){
                col[dcc[i][j]]=i,vis[dcc[i][j]]=0;
            }
            if(check(dcc[i][0],1,i)){
                for(register int j=0;j<dcc[i].size();j++) able[dcc[i][j]]=true;
            }
        }
        for(register int i=1;i<=n;i++) if(!able[i]) ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}