bzoj 2038（莫队算法）

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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题目描述

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

输入

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

输出

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

样例输入

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

样例输出

2/5

0/1

1/1

4/15

【样例解释】

询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。

询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。

询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。

注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；

60%的数据中 N,M ≤ 25000；

100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

 

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莫队算法，发明者莫涛。

功能：能够实现对数列上区间的各种查询，这听上去和线段树很像，但是它能够查询一些不具备加和性的问题，这是线段树无法解决的。

应用条件：f(l,r)表示区间[l,r]上查询结果，它如果在O(1)时间内计算出以下4个表达式，则可以使用莫队算法。

f(l+1,r)、f(l-1,r)f(l,r+1)、f(l,r-1)

思路：莫队算法真正证明了那句名言：“暴力出奇迹”

1、首先将所有的查询排序，方法为：l 所在的块小的，或 l 所在的块相同但是r小的靠前排。块的大小为n^1/2

2、初始化区间为空，并设置相应的ans

3、将区间按排好查询的顺序依次向每一次查询的区间靠近（这就是为何要有上面的应用条件）。并保存答案。

4、依次输出答案。

复杂度:

n个数m次查询

排序：m*log(m)

查询：第次移动为1，l 的移动只能在本块内或移动到下一块所以为n^1/2,共n次，共n^3/2，而r的移动每个块内 l 对应的r逐渐增长，最多从1到n，所以总的移动为n^3/2。

因此总的时间复杂度为O(n^3/2).

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e4+7;
const int maxm=5e4+7;
int n,m;
ll sz[maxn],ans,da[maxm],daa[maxm];
int l,r,qrtn;
int cs[maxn]={0};
struct que
{
    int l,r,id;
}q[maxm];
bool mycmp(que a,que b)
{
    if(a.l/qrtn<b.l/qrtn || (a.l/qrtn==b.l/qrtn && a.r<b.r))return 1;
    return 0;
}
ll c(ll x)
{
    if(x<2)return 0;
    return x*(x-1)/2;
}
void del(int pos)
{
    int tp=--cs[sz[pos]];
    ans-=c(tp+1);
    ans+=c(tp);
}
void add(int pos)
{
    int tp=++cs[sz[pos]];
    ans-=c(tp-1);
    ans+=c(tp);
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",sz+i);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id=i;
    }
    qrtn=sqrt(0.5+n);
    sort(q,q+m,mycmp);
    l=0;r=-1;ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        while(l<q[i].l)
        {
            del(l);l++;
        }
        while(l>q[i].l)
        {
            l--;add(l);
        }
        while(r<q[i].r)
        {
            r++;add(r);
        }
        while(r>q[i].r)
        {
            del(r);r--;
        }
        da[q[i].id]=ans;
        daa[q[i].id]=c(r-l+1);
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(da[i]==0)
        {
            printf("0/1\n");
            continue;
        }
        ll tp=gcd(daa[i],da[i]);
        printf("%lld/%lld\n",da[i]/tp,daa[i]/tp);
    }
    return 0;
}