Tutte 定理与 Tutte–Berge 公式

Tutte theorem

图 \(G=(V,E)\) 有完美匹配当且仅当满足 \(\forall U\subseteq V,o(G-U)\le|U|,o(X)\) 表示 X 子图的奇连通块数。

Tutte–Berge formula

图 \(G=(V,E)\) 的最大匹配数为 \(\frac12\min\limits_{U\subseteq V}\{|U|-o(V-U)+|V|\}\)

Tutte 定理证明

必要性

如果 G 有完美匹配，那么每个奇连通块至少有一个点需要与 U 中的点匹配，故得证.

充分性

定义坏集 S 满足 \(|S|<o(G-S)\) ，那么图 G 中不能存在坏集。

如果 S 是 G 的坏集，那么 S 也一定是 G 的导出子图的坏集。

于是不妨令 G 满足 G 不存在完美匹配，且加入任意一条不在 G 中的边后存在完美匹配。

令 S 为满足度数为 \(|V|-1\) 的点集，首先考虑 \(G-S\) 中的每个连通块都是团的情况，容易发现 S 一定是坏集。

于是 \(G-S\) 中至少有一个连通块不是团，考虑把这个连通块扯出来讨论，我们找出其中两个没有边直接相连的点 \(x,y\) ，设从 \(x\rightarrow y\) 最短路上的头三个点为 \(a,b,c\) ，那么显然 \((a,c)\notin E\) ，且一定存在点 \(d\) 满足 \((b,d)\notin E\) 。

由于上面限制了 G 加入任意一条不在 G 中的边后都存在完美匹配，因此我们设 \(M_1\) 是 \((V,E\cup(a,c))\) 的一组完美匹配， \(M_2\) 是 \((V,E\cup(b,d))\) 的一组完美匹配，显然 \((a,c)\in M_1,(M_2)\in M_2\) （第一次走 \(M_1\) 的）。

然后定义 P 是在 G 上面从 d 出发，交替走 \(M_1,M_2\) 中的边得到的最长路径，显然最后会落在 \(a,b,c\) 点中的一个。

如果落在 b 点，我们令 \(C=P\cup(b,d)\) ，否则令 \(C=P\cup(a/c,b)\cup(b,d)\) ，这样 C 就是一个偶环，对于 C 我们选择不在 \(M_2\) 中的边可以形成一组新的匹配，对于 \(G-C\) 中的点我们按照 \(M_2\) 中的边匹配，这样就形成了一组新的完美匹配，故得证.

Tutte-Berge 公式与 Tutte 定理等价性证明

定义 \(def(G)\) 表示图 G 最大匹配中未被覆盖定点数， \(\nu(G)\) 表示 G 的最大匹配数，那么显然有 \(def(G)=|V|-2\nu(G)\).

Tutte-Berge formula \(\Rightarrow\) Tutte theorem

移项即可

Tutte theorem \(\Rightarrow\) Tutte-Berge formula

设 \(\delta'(G)=\max\limits_{U\subseteq V}\{o(V-U)-|U|\}\) ，并设 \(S\) 是取得最大值时的 \(U\) ，即证 \(\delta'(G)=def(G)\)。

显然有 \(\delta'(G)\ge0\) ，下面根据 \(\delta'(G)\) 的取值进行分类讨论。

1. \(\delta'(G)=0\) ，那么满足 Tutte 定理的条件，整张图存在完美匹配， \(\delta'(G)=def(G)=0\)
2. \(\delta'(G)>0\) ，那么一定有若干奇连通块存在点在 X 中未被覆盖，设该个数为 \(x\) ，\(o(G-X)=y\) ，那么一定满足 \(x\ge y-|X|\) 和 \(x\le def(G)\) ，因此 \(\delta'(G)\le def(G)\)成立。
   
   另一方面，考虑构造一个有 \(\delta'(G)=0\) 个点的完全图 H ，然后跟 G 拼一个新图 \(G'=(V_H\cup V_G,E_H\cup E_G\cup\{(u,v)|u\in V_H,v\in V_G\})\)
   
   容易在利用 Tutte 定理简单讨论后证明 G' 有完美匹配，因此 \(|V_H|=\delta'(G)\ge def(G)\) ，因此 \(\delta'(G)=def(G)\) ，故 Tutte-Berge 公式得证.