P2607[ZJOI2008] 骑士 题解

题目

Z 国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。

最近发生了一件可怕的事情，邪恶的 Y 国发动了一场针对 Z 国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的 Z 国又怎能抵挡的住 Y 国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。

骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。

战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。

为了描述战斗力，我们将骑士按照 \(1\) 至 \(n\) 编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

输入格式

第一行包含一个整数 \(n\)，描述骑士团的人数。

接下来 \(n\) 行，每行两个整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

输出格式

应输出一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

输入样例

3
10 2
20 3
30 1

输出样例

30

题解

把每个骑士连接起来,形成一个图,如果A恨B,A不能和B在一起,B自然也就无法和A在一起,即使B不恨A,所以建图的时候建双向边.

然后就是树形DP

定义\(f[i][j]\),\(f[i][0]\)表示以点\(i\)为根的子树中,不选择根时的最大战斗力,\(f[i][1]\)表示以点\(i\)为根的子树中,选择根时的最大战斗力.

设\(u\)为树根,\(v\)为\(u\)的每个儿子,\(a[i]\)表示点\(i\)的战斗力

显然,

\(f[u][1]=\Sigma f[v][0]+a[u]\)

\(f[u][0]=\Sigma f[v][1]\)

但是,注意本题可能出现环,并且最多只能出现一个环

这时候随便从中间拆开,变成一条链,端点设为\(r1,r2\),然后以\(r1\)为根进行一次树形DP,不选\(r1\)(因为\(r,r2\)不能同时选),得到的值是\(f[r1][0]\);然后相同操作,对\(r2\)也进行一次,得到的值记为\(f[r2][0]\),然后把每一次树形DP的值的和就是答案.

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000000 + 10;
int head[N], cnt = 1, size[N], r1, r2,p[N];
struct Edge { int to, next; } edges[2 * N];
bool vis[N], flag;
long long ans, f[N][2];
void add(int x, int y) {
    edges[++cnt].next = head[x];
    edges[cnt].to = y;
    head[x] = cnt;
}
void dfs(int x, int fa) {
    vis[x] = 1;
    size[++size[0]] = x;
    for (int i = head[x]; i; i = edges[i].next) {
        int v = edges[i].to;
        if (v == fa) continue;
        if (!vis[v]) dfs(v, x);
        else if (vis[v] && !flag) {
            flag = true;
            r1 = x, r2 = v;
        }
    }
}
void dfs2(int x, int fa) {
    f[x][0] = 0;
    f[x][1] = p[x];
    for (int i = head[x]; i; i = edges[i].next) {
        int v = edges[i].to;
        if (v && v != fa) {
            dfs2(v, x);
            f[x][1] += f[v][0];
            f[x][0] += max(f[v][0], f[v][1]);
        }
    }
}
void solve() {
    if (!flag) {
        int root = size[1];
        dfs2(root, -1);
        ans += max(f[root][0], f[root][1]);
    } else {
        long long maxv = -100;
        for (int i = head[r1]; i; i = edges[i].next) {
            if (edges[i].to == r2) {
                edges[i].to = 0;
                edges[i ^ 1].to = 0;
                break;
            }
        }
        dfs2(r1, -1);
        maxv = max(maxv, f[r1][0]);
        dfs2(r2, -1);
        maxv = max(maxv, f[r2][0]);
        ans += maxv;
    }
}
int n;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    int x, y;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &p[i], &x), add(i, x), add(x, i);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            size[0] = 0;
            flag = false;
            dfs(i, -1);
            solve();
        }
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}