CF1413C Perform Easily 题解

毒瘤C题，考场卡我1个小时

首先，这道题难点在哪里？它的最大值与最小值都是浮动的。

怎么办？把最小/最大值固定！

以把最小值固定为例，我们枚举每个音符，并枚举它使用哪条琴弦，将它此时的位置强制其作为最小值（设为\(minx\)）。

同时，我们令其他音符不作为最小值，即其他的音符的位置不能小于最小值。

接下来，我们只需计算每个音符的最小位置（但不小于最小值），在这些音符中取 \(\max\) 即可。

直接的想法是枚举其他的所有音符，寻找满足 \(b_i-a_j \ge minx\) 最大 \(a_j\) （此时 \(b_i-a_j\) 最小）。

很明显，这样做是 \(O(n)\) 的。然而，我们要枚举 \(6n\) 个最小值，时间复杂度为\(O(n^2)\) （把常数项省掉了）…

略加思考，我们发现并不是所有的音符都要枚举一遍。我们把\(a、b\)数组分别从小到大排序，并把\(a\)数组去重（原因后面讲），那么最悲惨的音符（雾） 肯定是那些可以用 \(a_{j-1}\) 的琴弦，但正好用不了 \(a_j\) 的琴弦的音符中最大的一个。当然，如果存在音符连 \(a_1\) 都用不了，直接判定当前最小值不合法，并枚举下一个最小值。

举个例子：\(a\)数组为 \([1,3,5]\) （去重以后），\(b\)数组为 \([4,5,6,6,7]\)，\(minx\)为\(3\)。

那么，\(5、7\)是最悲惨的音符，因为\(5\)是可以用琴弦\(a_1\)但用不了琴弦\(a_2\)（有\(4、5\)两个音符）中最大的音符，\(7\)是可以用琴弦\(a_2\)但用不了琴弦\(a_3\)中最大的音符。显然，最大的位置将在最悲惨的音符中产生。

由于我们对 \(b\) 数组排过序，因此对每一条琴弦，直接二分查找最大的 \(b_i\) ，使 \(b_i-a_j < minx\) 即可。

于是，我们只要找到这些音符即可。这些音符最多不超过\(6\)个。时间复杂度 \(O(n \log n)\) 。

最后说一句，为什么\(a\)要去重？因为我们要找可以用 \(a_{j-1}\) 的琴弦但用不了 \(a_j\) 的琴弦的音符，如果存在重复，即 \(a_{j-1}=a_j\) ，则可能这个音符 \(a_{j-1}\) 的琴弦、 \(a_j\) 的琴弦都用不了，明显不符。

\(Code:\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[10],n,b[100010],pos[10],cnt;
ll ans=1e18;
int main(){
    for(int i=1;i<=6;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    sort(a+1,a+7);cnt=unique(a+1,a+7)-a-1;//去重
    cin>>n;
    for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lld",&b[j]);
    sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            ll minx=b[i]-a[j],maxn=0,last=0; //枚举minx
            if(b[1]-a[1]<minx) goto fail;
            for(int k=2;k<=cnt;k++){
                last=lower_bound(b+last+1,b+n+1,minx+a[k])-b-1;//二分查找
                maxn=max(maxn,b[last]-a[k-1]);//更新最大位置
            }
            for(int k=cnt;k>=1;k--){
                if(b[n]-a[k]>=minx){
                    maxn=max(maxn,b[n]-a[k]); //最大的音符特殊处理一下
                    break;
                }
            }
            ans=min(ans,maxn-minx);//更新答案
            fail:;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}