【初等数论】裴蜀定理&扩展欧几里得算法

裴蜀定理：

对于\(a,b\in N^*, x, y\in Z\)，方程\(ax+by=k\)当且仅当\(gcd(a, b)|k\)时有解。

证明：

必要性显然。

充分性：只需证明当\(k=gcd(a, b)\)有解。

设\(s\)为令方程有解的最小\(k\)值，\(gcd(a, b) = d\)，首先有\(d|s\)。

设$t = \lfloor \frac{a}{s} \rfloor,r = a \bmod s $

则\(r = a - t * s = a - (ax + by)*t = (1-tx)*a + byt\)

那么\(r\)也是\(a,b\)的线性组合，即存在\(x, y\)令\(ax + by = r\)有整数解。

又\(r \in [0, s)\)

\(\therefore r = 0\)

即\(s|a\)，同理\(s|b\)。

\(\therefore s|d\)，即\(s = d\)

证毕。

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扩展欧几里得算法

​ 裴蜀定理告诉我们，方程\(ax + by = k\)当且仅当\(gcd(a, b)|k\)时存在无数组整数解。扩展欧几里得算法可以递归求出该方程的一组解，结合各组解之间的关系便有了解该方程的一般方法。

基于欧几里得算法的核心性质：\(gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b) (b \neq 0)\)

如果找到\(bx + (a \bmod b)y = d\)的一组解\(x_1, y_1\)，并且通过待定系数法确定\(x,y\)和\(x_1, y_1\)的关系，我们就可以解出\(x, y\)了。

解：

对于方程\(dx + 0*y = d\)（边界），显然有一组解\((1, 0)\)

设\(gcd(a, b) = d\)，对于方程\(ax + by = d\)，我们递归求解得方程\(bx_1 + (a \bmod b)y_1 = d\)的解。

设\(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor = q\)，则\(a \bmod b = a - q * b\)

有\(bx_1 + (a - qb)y_1 = d\)

即\(ay_1 + b * (x_1 - qy_1) = d\)

对比系数得\(
x=y_1,y = x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor * y_1\)。

​函数的递归结构由此确定，最终返回的为方程\(ax + by = gcd(a, b)\)的一组解\(x_0, y_0\)。

如果\(\frac{k}{d} = s\)，那么\(x = sx_0, y = sy_0\)。

现在我们着手来考虑方程\(ax + by = k (gcd(a, b)|k)\)通解的形式。

不妨设通过扩欧得到的一组解为\(x_0, y_0\)，任意解\(x = x_0 + \Delta x,y = y_0 + \Delta y\)

消元得\(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\)

即\(a\Delta x = -b\Delta y\)

设\(a = pd, b = qd\)

则\(\frac{\Delta x}{\Delta y} = -\frac{q}{p}\)

最终得到通解的形式为\(x = x_0 + kq, y = y_0 - kp (k \in Z)\)

解毕。

代码：

int exgcd(int a, int b, int& x, int&y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int ret = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ret;//return gcd(a, b)
}