【读书笔记】组合计数中的行列式方法 专题2 欧拉回路,the BEST theorem

目录

• 专题2-欧拉回路，the BEST theorem
  • 一些定义
  • 一个有向图是欧拉的充要条件
  • BEST定理
  • BSET定理推论
  • k-ary de Bruijn sequence定义
  • BSET theorem在k-ary de Bruijn sequences of order n计数 中的应用
  • 彩蛋-超排列

专题2-欧拉回路，the BEST theorem

一些定义

1. An Eulerian path is a path in the graph that visits every edge exactly once.
2. If the path starts and ends at the same vertex,then it is called an Eulerian cycle.
3. We say \(G\) is an Eulerian graph if it has an Eulerian cycle.

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一个有向图是欧拉的充要条件

Theorem 1.4.8 A directed graph is Eulerian if and only if it is connected and every vertex \(v\) satisfies \(indeg(v) = outdeg(v)\).

定理1.4.8 一个有向图而言，它是欧拉的当且仅当对所有节点出度等于入度。

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BEST定理

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BSET定理推论

在欧拉有向图中，每个节点的有向生成树数目都是相等的。

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k-ary de Bruijn sequence定义

A k-ary de Bruijn sequence of order n

定义为一个cyclic word，长度是\(k^n\),用的字母表是{0,1,...,k-1},

它的每一个subword正好遍历【长度为\(n\),用字母表为{0,1,...,k-1}组成的\(k^n\)个序列】(每个出现一次)

举个例子，我从维基百科截的图：

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BSET theorem在k-ary de Bruijn sequences of order n计数 中的应用

建图呗。下面这也是维基截的图。

比如你想求解2-ary de Bruijn sequences of order 3的数目，每个节点的序列长度是3，

数哈密顿路径。（收集的序列就是点构成的序列）

或者，你想求解2-ary de Bruijn sequences of order 4的数目，每个节点的序列长度是3，

数欧拉环。 （收集的序列就是【边，形如e_1,e_2,e_3...】构成的序列）

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下面定理证明中用到的是把长度为n-1的序列作为点，找到欧拉环。

彩蛋-超排列

“我对普通的人类没有兴趣，你们只要能求出超排列的准确公式，就尽管来找我吧！以上”

Wikipedia Superpermutation