acdream：Andrew Stankevich Contest 3：Two Cylinders：数值积分

Two Cylinders

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Problem Description

In this problem your task is very simple.

Consider two infinite cylinders in three-dimensional space, of radii R₁ and R₂ respectively, located in such a way that their axes intersect and are perpendicular.

Your task is to find the volume of their intersection.

Input

      Input file contains two real numbers R₁ and R₂ (1 <= R₁,R₂ <= 100).

Output

      Output the volume of the intersection of the cylinders. Your answer must be accurate up to 10^-4.

Sample Input

1 1

Sample Output

5.3333

Source

Andrew Stankevich Contest 3

 

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算法：先积分，再套用Simpson模板即可。

至于积分，就是高数的内容了，把2个圆柱中半径比较小的设为r₁，半径较大的设为r₂.

我们把小圆柱的轴线重叠z轴放置，大圆柱的轴线重叠y轴放置。

假设有一个平行于yOz平面的平面截得两圆柱的相交部分，得到一个截面，这个截面的面积是多少呢？

假设截面与x轴交于点(x,0,0)，又因为是2个圆柱的相交部分，所以截面的一边长为2√(r₁²-x²)

同理,另一边长为2√(r₂²-x²)

最后得到一个积分：

8∫√(r₁²-x²)(r₂²-x²)dx

对[0,r₁]求积分，就是结果。

 

直接积出来是很困难的，下面就是直接套Simpson模板了，写出全局函数F，其他没什么了。

 

 

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 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 double r1,r2;

 // simpson公式用到的函数，就是待积分函数
 double F(double x)
 {
     return sqrt(r1*r1-x*x)*sqrt(r2*r2-x*x);
 }

 // 三点simpson法。这里要求F是一个全局函数
 double simpson(double a, double b)
 {
     double c = a + (b-a)/;
     return (F(a)+*F(c)+F(b))*(b-a)/;
 }

 // 自适应Simpson公式（递归过程）。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值A
 double asr(double a, double b, double eps, double A)
 {
     double c = a + (b-a)/;
     double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);
     if(fabs(L+R-A) <= *eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;
     return asr(a, c, eps/, L) + asr(c, b, eps/, R);
 }

 // 自适应Simpson公式（主过程）
 double asr(double a, double b, double eps)
 {
     return asr(a, b, eps, simpson(a, b));
 }

 // 用自适应Simpson公式计算积分数值
 double getValue()
 {

     return asr(, r1, 1e-)*; // 第一第二个参数为积分区间，第三个参数为精度
 }

 int main()
 {
     while(~scanf("%lf%lf",&r1,&r2))
     {
         if(r1>r2)
             swap(r1,r2);
         printf("%.10f\n",getValue());
     }
     return ;
 }