【GDOI2014模拟】服务器

前言

直到比赛最后几分钟，才发现60%数据居然是一个水dp，结果没打完。

题目

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。

首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

分析

60%的数据

水dp，设\(f[i]\)表示直接复制文件给\(i\)，把文件复制到i~n中的所有服务器最小的花费。

显然，转移为\(f[i]=c[i]+\min(f[j]+(1+j-(i+1))*(j-(i+1))/2)\).

100%的数据

现在就要想办法给dp加斜率优化了。

有两个位置\(j和k(j!=k 并且 i<j、k)\)，要使选\(j\)比\(k\)优，

那么$$\dfrac{f[j]+(1+j-(i+1))(j-(i+1))}{2}<\dfrac{f[k]+(1+k-(k+1))(j-(k+1))}{2}$$

移项得$$\dfrac{f[j]−f[k]+(j^{2}−k{2}+k−j)/2}{j-k}<i$$

接着就可以打斜率优化dp了。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=214748364700;
using namespace std;
long long f[200000],n,m,c[200000],d[200000];
long long sum(long x,long y)
{
    return y*(y-x)-(y-x)*(x+y-1)/2;
}
double slope(long long x,long long y)
{
	return (f[x]-f[y]+(x*x-y*y+y-x)/2)*1.0/(x-y);
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(long long i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&c[i]);
	}
	f[n]=c[n];
	long long l,r;
	d[l=r=1]=n;
	for(long long i=n-1;i>=1;i--)
	{
		while(l<r && slope(d[l],d[l+1])>=i) l++;
		f[i]=c[i]+f[d[l]]+sum(i+1,d[l]);
		while(l<r && slope(d[r-1],d[r])<slope(d[r],i)) r--;
		d[++r]=i;
	}
	long long ans=maxlongint;
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		ans=min(ans,f[i]+sum(1,i));
	printf("%lld",ans);
}