高考数学九大超纲内容(1)wffc

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我校2016$\thicksim$2017学年度(上期)半期高三(理科)考试第12题

已知奇函数\(f(x)\)的定义域是\((-1,0)\bigcup\hspace{0.05cm}(0,1)\)，\(f(\dfrac{1}{2})=0\)，

当\(x>0\)时，总有\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\)成立(其中\(f'(x)\)

为函数\(f(x)\)的导函数)， 则不等式\(f(\log_2 x)>0\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)

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【大致思路】关键的环节是构造符合\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\)

的函数，如何构造呢？那么请出我们的九大金刚之“常微分方程”，

鉴于太超纲了，因此我们也不用搞清楚它的道理，只需要牢牢掌握

套路就行了。好，现在来看这种套路的过程：

\(f'(x)\cos x>2f(x)\sin x\Rightarrow f'(x)\cos x=2f(x)\sin x\)(“不等”变“等”)

\(\Rightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{2\sin x}{\cos x}\)("参变"分离)

\(\Rightarrow \ln f(x)=-2\ln\cos x\)(两边积分)这步最关键

\(\Rightarrow \ln f(x)=\ln\dfrac{1}{\cos^2 x}\)(“两脚穿鞋”)

\(\Rightarrow f(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}\)(“赤脚上阵”)

\(\Rightarrow \cos^2 x f(x)=1\)(变量归“一”)

\(\Rightarrow\)构造函数\(h(x)=\cos^2 x f(x)\)

验证：\((\cos^2 x f(x))'=\cos^2xf'(x)-2\cos x\sin xf(x)=\cos x[\cos xf'(x)-2\sin xf(x)]\)

\(\Rightarrow (\cos^2 x f(x))'>0\Rightarrow\)当\(x>0,h(x)\)单调递增

\(\Rightarrow\)当\(x>0,h(\log_2x)=\cos^2(\log_2x)f(\log_2x)>0=\cos^2(\frac{1}{2})f(\frac{1}{2})=h(\frac{1}{2})\)，后面略\(.\)

哈哈！搞定！

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同事余登超老师提供如下构造法：

\(\Rightarrow f'(x)\cos x-f(x)\sin x>f(x)\sin x\)

令\(F(x)=f(x)\cos x\Rightarrow F'(x)>f(x)\sin x\Rightarrow F'(x)>F(x)\dfrac{\sin x}{\cos x}\)

\(\Rightarrow F'(x)\cos x-F(x)\sin x>0\Rightarrow (F(x)\cos x)'>0\Rightarrow (f(x)\cos^2x)'>0\)

哈哈！也搞定！

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【练习1】已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+\infty)\)，且满足\(f'(x)>(1+\dfrac{1}{x})f(x)\)和\(f(1)=1\)，则不等式

\(f(x)<x\text{e}^{x-1}\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)

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【练习2】已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+\infty)\)，且满足\(xf'(x)-2f(x)=x^3\ln x\)和\(f(\text{e})=\text{e}^2\)，则函数\(f(x)\)

在\((0,+\infty)\)上\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}\)

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值

D.既无极大值，又无极小值

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【练习3】已知函数\(f(x)\)的定义域为\((-\infty,+\infty)\)，且满足\(f(1+x)+f(1-x)=0\)和\(f(2)=0\)，

当\(x>1\)时，\(f'(x)+f(x)>0\)，则不等式\(f(x)\ln |x-1|<0\)的解集为\(\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.\)

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