Miller-Rabin素性测试

有时候我们想快速的知道一个数是不是素数，而这个数又特别的大导致 $O(\sqrt n)$ 的算法也难以通过，这时候我们可以对其进行 Miller-Rabin 素数测试，可以很大概率测出其是否为素数。

两个理论基础

（1）费马小定理：当 $p$ 为质数，有 $a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)$，反过来不一定成立，也就是说，如果 $a, \ p$ 互质，且 $a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)$，不能推出 $p$ 是质数，比如 $Carmichael$ 数

（2）二次探测：如果 $p$ 是素数，$0 < x < p$，则方程 $x^2 \equiv 1(mod \ p)$ 的解为 $x=1$ 或 $x=p-1$.

证一下二次探测定理：

易知 $ x^2-1 \equiv 0(mod \ p)$

$\because(x+1)(x-1) \equiv  0\ (mod \ p)$

$\because$ $p$ 为素数，只能分解为

$\because x+1 \equiv 0\ (mod \ p)$ 或 $x-1 \equiv 0\ (mod \ p)$

根据 $x$ 的取值范围，$x=1$ 或 $x=p-1$.

Fermat 素性测试

只根据费马小定理，易得一种检测质数的思路：

它的基本思想就是多次从 $\left [ 2, n-1 \right ]$ 中选取基 $a$，并检验是否每次都有 $a^{n-1} \equiv 1\ (mod \ n)$

bool millerRabin(int n) {
  if (n < ) return n == ;
  // test_time 为测试次数,建议设为不小于 8
  // 的整数以保证正确率,但也不宜过大,否则会影响效率
  int  test_time = ;
  for (int i = ; i <= test_time; ++i) {
    int a = rand() % (n - ) + ;
    if (qpow(a, n - , n) != )
    {
        printf("a:%d\n", a);
        return false;
    }
  }
  return true;
}

遗憾的是，由于费马小定理的逆定理并不成立 ，即满足  $a^{n-1} \equiv 1\ (mod \ n)$，$n$ 也不一定是素数。

卡迈克尔数

上面的做法中随机地选择 $a$，很大程度上降低了犯错概率，但是仍有一类数，上面的做法并不能准确地判断。

对于合数，如果对于所有与 $n$ 互素的正整数 $a$，都有同余式 $a^{n-1} \equiv 1\ (mod \ n)$ 成立，则合数 $n$ 为卡迈克尔数（Carmichael Number），又称费马伪素数。

而且我们知道，若 $n$ 为卡迈克尔数，则 $2^n-1$ 也是卡迈克尔数，从而卡迈克尔数的个数是无穷的。

在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。前3个Carmichael数是561,1105,1729。

Miller-Rabin测试

根据卡迈克尔数的性质，可知其一定不是 $p^e$.

不妨将费马小定理和二次探测定理结合起来使用：

1. 对偶数和0、1、2直接判断
2. 设要测试的数为 $n$，设$m$、$k$，满足 $n-1 = m2^k$（使其中 $m$ 为奇数）
3. 我们先算出 $a^t$，然后不断地平方且进行二次探测（进行 $k$ 次）
4. 最后根据费马小定理探测一次
5. 多次取不同的 $a$ 进行上面3步

可以证明Miller-Rabbin算法单次出错的概率小于等于 $\frac{1}{4}$，若重复 $k$ 次，则出错概率降低至 ${(\frac{1}{4})}^k$。这是一个很保守的估计，实际效果要好得多。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long int ll;

ll mod_mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll res = ;
    while (b)
    {
        if (b & )
            res = (res + a) % mod;
        a = (a + a) % mod;
        b >>= ;
    }
    return res;
}

ll mod_pow(ll a, ll n, ll mod)
{
    ll res = ;
    while (n)
    {
        if (n & )
            res = mod_mul(res, a, mod);
        a = mod_mul(a, a, mod);
        n >>= ;
    }
    return res;
}

// Miller-Rabin随机算法检测n是否为素数
bool Miller_Rabin(ll n)
{
    if (n == )
        return true;
    if (n <  || !(n & ))
        return false;
    ll m = n - , k = ;
    while (!(m & ))
    {
        k++;
        m >>= ;
    }
    for (int i = ; i <= ; i++)  // 20为Miller-Rabin测试的迭代次数
    {
        ll a = rand() % (n - ) + ;
        ll x = mod_pow(a, m, n);
        ll y;
        for (int j = ; j <= k; j++)
        {
            y = mod_mul(x, x, n);
            if (y ==  && x !=  && x != n - )
                return false;
            x = y;
        }
        if (y != )
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld", &n) == )
    {
        printf("%d\n", Miller_Rabin(n));
    }
}

注：

（1）时间复杂度 $O(Slog^3)$（$S$ 为测试次数）

（2）long long相乘可能会爆long long，所以使用快速乘

（3）当 $a$ 取遍30内的素数，$int$ 都不会出错

（4）记住几个素数19260817、23456789、2092876369、11111111111111111111111（23个1）

（5）还可以去 hihocodeCoder 1287 测一下板子

参考链接：

1. 百度百科——卡迈克尔数

2.OI WIKI——素数

3. https://blog.csdn.net/forever_dreams/article/details/82314237?tdsourcetag=s_pctim_aiomsg

4. https://blog.csdn.net/ECNU_LZJ/article/details/72675595

5. http://www.matrix67.com/blog/archives/234