topK问题

概述

在N个乱序数字中查找第K大的数字，时间复杂度可以减小至O(N).

可能存在的限制条件：

要求时间和空间消耗最小、海量数据、待排序的数据可能是浮点型等。

方法

方法一

• 对所有元素进行排序，之后取出前K个元素，时间复杂度高，不提倡。 *
  
  思路：使用快排，选择排序，堆排序。
  
  时间复杂度：排序复杂度nlogn，最后要访问第K个元素，因此是O(n*logn)+O(K)=O(n*logn)
  
  特点：需要对全部元素进行排序，K=1时，时间复杂度也为O(n*logn)。

方法二

• 只需要对前K个元素排序，剩下N-K个元素不需要排序，时间复杂度高，不提倡。 *
  
  思路：使用选择排序 或 冒泡排序， 进行K此选择，可得到第K大的数。
  
  时间复杂度：每一次大循环遍历复杂度是n,共遍历K次，因此是O(n*k)

def selectionSort(arr, k):
    length = len(arr)
    minIndex = 0
    for i in range(length):
        minIndex = i
        for j in range(i+1,length):
            if arr[j] < arr[minIndex]:
                minIndex = j

        arr[i], arr[minIndex] = arr[minIndex], arr[i]
        if i == k:
            return arr[:k]

    return arr

arr = [3,4,9,2,1,0,-10]
print(selectionSort(arr, 3))

方法三

• 不对前K个数排序+不对N-K个数排序 *
  
  思路：寻找第K个大元素
  
  具体方法：使用类似快排，执行一次快排后，每次只选择一部分继续执行快排，直到找到第K个大元素为止，此时这个元素在数组位置后面的元素即所求。
  
  时间复杂度：

• 若随机选取枢纽，线性期望时间O(N)
• 若选取数组的“中位数的中位数”作为枢纽，最坏情况下的时间复杂度O(N)
  
  利用快排的思想，从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。这时有两种情况：

1. Sa中元素的个数小于k,则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数；
2. Sa中元素的个数大于等于k，则返回Sa中的第k大数。
   
   利用快排的partion思想T(n) = 2T(n/2) + O(1) 时间复杂度为O(n)
   
   该方法只有当我们可以修改输入的数组时可用，位于数组左边的k个数字就是最小的k个数字(但这k个数字不一定是排序的)，位于第k个数右边的数字都比第k个数字大。