ZR#999

解法:

一道计数题,看到要求必须 $ m $ 个标号,所有标号至少出现一次的方案。

很容易想到可以容斥,但容斥这个东西是一种很神奇的东西,你可以看出来一道题需要容斥,但你就是不知道怎么容斥。

原题的等价形式为:总方案减去至少不出现一种玩具的方案数。

考虑容斥 , 那么就有

$ \bigcup ^ {n} _ {i = 1} A_i = \sum ^ {n} _ {k = 1} (-1) ^ {k-1} \sum _ {1 \leq i_1 < i_2 \cdots i_k \leq n} \mid A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A _ {i_k} \mid $

设 $ f_i $ 表示状态为 $ i $ 时所有元素都在集合 $ i $ 中的方案数。(不要求包含 $ i $ 中的所有元素)然后用容斥原理算一下即可。

但是这个题数据范围比较大,需要用 $ FWT $ (高维前缀和)来维护 。

CODE:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm> #define N 1 << 20
const int p = 1e9 + 7; int n,m,k,x,res,ans;
int f[N],t[N],cnt[N],flag; inline int read() {
int x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-')f = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return x * f;
} int main() {
n = read(),m = read();
flag = (1 << m) - 1;
cnt[0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
k = read();
res = 0;
for(int j = 1 ; j <= k ; j++) {
x = read();
res |= 1 << (x - 1);
}
++f[res];
}
for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
for(int j = 1 ; j <= flag ; j++) {
if(j & (1 << (i - 1)))
f[j] += f[j ^ (1 << (i - 1))];
}
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
cnt[i] = cnt[i - 1] << 1;
if(cnt[i] >= p) cnt[i] -= p;
}
for(int i = 0 ; i <= flag ; i++) {
t[i] = t[i >> 1] + i & 1;
if(!((m - t[i]) & 1)) ans += cnt[f[i]] - 1;
else ans -= cnt[f[i]] - 1;
if(ans >= p) ans %= p;
else if(ans < 0) ans += p;
}
printf("%d \n",ans);
//system("pause");
return 0;
}

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