习题一初步理解时间复杂度大O表示法案例

1.如果 a+b+c=1000，且 a^2+b^2=c^2（a,b,c 为自然数），如何求出所有a、b、c可能的组合?

如上：a+b+c=1000, a平方+b平方=c平方  求出所有abc可能的组合？

思路方法：用枚举法，a,b,c 一个一个试。

//枚举法:
//a=0 ... a=1000;
//b=0 ... c=1000;
//c=0 ... c=1000;
//三个嵌套循环实现

//方法一:三个嵌套循环实现
$start = time();
echo "方法一:开始运行...\r\n";
for($a=0;$a<1001;$a++)
{
    for($b=0;$b<1001;$b++)
    {
        for($c=0;$c<1001;$c++)
        {
            if($a+$b+$c==1000 && $a*$a+$b*$b==$c*$c)
            {
                echo "a=$a , b=$b , c=$c \r\n";
            }
        }
    }
}
$end = time();
$total = $end-$start;
echo "开始时间:".date("Y-m-d H:i:s",$start)."\r\n";
echo "结束时间:".date("Y-m-d H:i:s",$end)."\r\n";
echo "共执行时间:$total 秒\r\n";
//共执行时间:34 秒
方法一：时间复杂度计算
关于如上程序方法一：时间复杂度的计算与大O表示法理解
时间复杂度 T ： 一层循环执行1000次， 二层循环执行1000次， 三层循环执行1000次， if条件两行代码总体看做两个步骤 2次
时间复杂度执行的步骤可看做为：
T = 1000*1000*1000*2 
如果 a+b+c= 2000
时间复杂度则可看做为：
T = 2000*2000*2000*2

如果 a+b+c= 3000
时间复杂度则可看做为：
T = 3000*3000*3000*2

如果 a+b+c= N
时间复杂度则可看做为：
T = N*N*N*2
T(n)=N^3*2
T(n)=N^3*10 （细化分：不是很关注的，对于这个）
T(n)=N^3*k   (k 细分的系数对，可以忽略，不考虑那么细致可以看做 T(n) = N^3)
系数对数据走势并不影响，可以忽略，主要是和N有关的几次方影响数据走向的态势。

渐进函数与时间复杂度 
T(n) = k*g(n)+c  k常数，c实常数  
g(n) = N^3     
g(n) 叫作 T(n) 的渐进函数

有关时间复杂度理解比较枯燥麻烦：具体相关定义如下：

如上实例的：g(n) 就可以看作是 时间复杂度T(n) 的大O表示法, n就是解决问题的规模

时间复杂度
T(n) = k*g(n)+c 
大O表示法就是：
O(n) = g(n) = N^3 (忽略掉常数和实常数)

//方法二:分析题目得出结论 c= 1000-a-b, 优化程序!

$start = time();
echo "方法二:开始运行...\r\n";
for($a=0;$a<1001;$a++)
{
    for($b=0;$b<1001;$b++)
    {
        $c = 1000-$a-$b;
        if($a*$a+$b*$b==$c*$c)
        {
            echo "a=$a , b=$b , c=$c \r\n";
        }
    }
}
$end = time();
$total = $end-$start;
echo "开始时间:".date("Y-m-d H:i:s",$start)."\r\n";
echo "结束时间:".date("Y-m-d H:i:s",$end)."\r\n";
echo "共执行时间:$total 秒\r\n";
//共执行时间:0 秒

方法二：时间复杂度计算：
T(n) = n * n + (1 + max(1,0));
     = n * n + 2
     = n^2 + 2
则大O表示法，忽略常数就是：
T(n) 大O表示法： O(n) = n^2

时间复杂度的几条基本计算规则

1. 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
2. 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
3. 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
4. 分支结构，时间复杂度取最大值
5. 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
6. 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度