阿狸的基环内向树森林

Background

当阿狸醒来的时候,发现自己处在基环内向森林的深处,阿狸渴望离开这个乌烟瘴气的地方。“明天还有与桃子的约会呢”,阿狸一边走一边说,“可是,这个森林的出口在哪儿呢?”

阿狸走啊走,走啊走,就是找不到出口。不知所措的他,突然听到了一个苍老的声音:“这是一片有魔法的密林,这里的树的形态也会时不时的变化,晃晃你的小脑瓜,是不是感觉有水在流动呢?”

Description

阿狸所在的森林有 N 个节点,编号从 1 到 N。每个节点都连出去恰好一条有向边,设 i 号点连出去的点为 A[i]。同时,阿狸发现,A[i]≠i,而且 A[A[i]]≠i。

每个节点上都有一些糖果,第 i 个节点上的糖果数为 B[i]。阿狸定义一个节点的糖果稠密度为 C[i],C[i]求法如下:

假设与 i 距离不超过 1 的点有 D[i]个(包括 i 连出去的点、连向 i 的点以及 i 自己),分别是 P[1]、P[2]…P[D[i]]。

设E[i]=⌊B[i]D[i]⌋E[i]=⌊B[i]D[i]⌋,那么C[i]=B[i]−D[i]×E[i]+∑D[i]j=1E[P[j]]C[i]=B[i]−D[i]×E[i]+∑j=1D[i]E[P[j]]

现在阿狸想让你实现一个糖果稠密度分析仪,这个分析仪要支持三种操作:
➢ 1 i j 表示把 A[i]改为 j,保证 j≠i 且 A[j]≠i。
➢ 2 i 表示询问 C[i]的值,即点 i 的糖果稠密度。
➢ 3 表示询问所有节点中最小的 C[i]的值和最大的 C[i]的值。

Input

第一行两个正整数 N 和 Q,表示节点个数和操作个数。
第二行 N 个正整数,第 i 个数表示 B[i]。
第三行 N 个正整数,第 i 个数表示 A[i]。
接下来 Q 行,每行形如 1 i j 或 2 i 或 3 ,表示操作。

Output

有若干行,表示操作 2 和操作 3 的答案。

Sample Input

5 12
10 20 30 40 50
2 3 4 5 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
1 4 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
3

Sample Output

10
36
28
40
36
9
57
27
28
29
9 57

Data Limitation

对于测试点 1~2,保证 N,Q≤5×103N,Q≤5×103,1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 3~6,保证 N,Q≤3×104N,Q≤3×104,1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 7~8,保证没有 2 操作,1、3 操作出现次数均在 Q/2 左右。
对于测试点 9~10,保证没有 3 操作,1、2 操作出现次数均在 Q/2 左右。
对于测试点 11~12,保证任何时候 A[i]≤5,1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 13~14,保证任何时候 A[i]≤100,1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 15~16,保证 B[i]≤100,1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于 100%的数据,保证 3≤N≤105,1≤Q≤105,1≤B[i]≤1012,1≤A[i]≤N3≤N≤105,1≤Q≤105,1≤B[i]≤1012,1≤A[i]≤N。

分析

分析那个糖果稠密度,发现可以拆分成“只与i及其周围点数量有关的式子”+“周围一圈的E”。直觉那个修改操作的变动量很少。

由于要修改A,所以想到把“周围一圈的E”拆分成“连向i的点的E”+“i连到的点的E”,然后大力维护即可。

我们可以把一个节点 i 的糖果稠密度 C[i]分成两部分,第一部分是 A[i]对 C[i]的贡献E[A[i]],第二部分是剩下的点对 i 的贡献 C[i]-E[A[i]],设 F[i]=C[i]-E[A[i]]。

对于一个节点 i,我们维护两个信息,一个是 E[i],另一个是所有连向 i 的点的 F 值所构成的集合(也可以用两个堆来维护),设这个集合为 Son[i]。

对于全局我们维护一个集合 S,S 的构成如下:我们把每个节点 i 的 min(Son[i])+E[i]和 max(Son[i])+E[i]两个值加到集合 S 中。

显然,操作 2 的答案就是 E[A[i]]+F[i],而操作 3 的答案就是 min(S)和 max(S)。

考虑操作 1 怎么维护,把 A[i]的值改成了 j,这个操作会影响的节点是 i、j、A[i]、A[j]、A[A[i]]、A[A[j]]、A[A[A[i]]],其中 i 的 A 发生了改变, A[i]和 j 的 D、E、F 和 Son 发生了改变,于是 A[A[i]]和 A[j]的 F 和 Son 也随之改变,于是 A[A[A[i]]]和 A[A[j]]的 Son 也改变了。所以分别对这七个节点维护即可,顺便再维护一下 S,常数超级大。

总复杂度是 O(NlogN)

以上为题解

 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
ll s=;
bool f=;
char ch=' ';
while(!isdigit(ch))
{
f|=(ch=='-'); ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
s=(s<<)+(s<<)+(ch^); ch=getchar();
}
return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
if(x<)
{
putchar('-'); x=-x;
}
if(x<)
{
putchar(x+''); return;
}
write(x/);
putchar((x%)+'');
return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=;
int i,j,k,n,m,q,ch,o,x,y;
int num[N],f[N];
ll t[N],val[N],dev[N],add[N];
multiset <ll> Ans,Son[N];
set <ll>::iterator it;
void rev(int x)
{
if (Son[x].empty()) return;
it=Son[x].begin();
Ans.insert(*it+add[x]);
it=Son[x].end();it--;
Ans.insert(*it+add[x]);
}
void del(int x)
{
if (Son[x].empty()) return;
it=Son[x].begin();
Ans.erase(Ans.find(*it+add[x]));
it=Son[x].end();it--;
Ans.erase(Ans.find(*it+add[x]));
}
void Rev(int x)
{
Son[f[x]].insert(val[x]+dev[x]);
}
void Del(int x)
{
Son[f[x]].erase(Son[f[x]].find(val[x]+dev[x]));
}
int main()
{
freopen("forest.in","r",stdin);
freopen("forest.out","w",stdout);
R(n);R(q);
for (i=;i<=n;i++) R(t[i]);
for (i=;i<=n;i++)
{
R(f[i]);
num[f[i]]++;
}
for (i=;i<=n;i++)
{
add[i]=t[i]/(num[i]+);
val[i]=t[i]-(num[i]+)*add[i];
dev[f[i]]+=add[i];
}
for (i=;i<=n;i++) Rev(i);
for (i=;i<=n;i++) rev(i);
for (i=;i<=q;i++)
{
R(o);
if (o==)
{
R(x);R(y);
if (f[x]==y) continue;
del(f[x]);del(f[f[x]]);del(f[f[f[x]]]);
Del(x);Del(f[x]);Del(f[f[x]]);
dev[f[x]]-=add[x];num[f[x]]--;
dev[f[f[x]]]-=add[f[x]];
add[f[x]]=t[f[x]]/(num[f[x]]+);
val[f[x]]=t[f[x]]-(num[f[x]]+)*add[f[x]];
dev[f[f[x]]]+=add[f[x]];
Rev(f[x]);Rev(f[f[x]]);
rev(f[x]);rev(f[f[x]]);rev(f[f[f[x]]]);
f[x]=y;
del(f[x]);del(f[f[x]]);del(f[f[f[x]]]);
Del(f[x]);Del(f[f[x]]);
dev[f[x]]+=add[x];num[f[x]]++;
dev[f[f[x]]]-=add[f[x]];
add[f[x]]=t[f[x]]/(num[f[x]]+);
val[f[x]]=t[f[x]]-(num[f[x]]+)*add[f[x]];
dev[f[f[x]]]+=add[f[x]];
Rev(x);Rev(f[x]);Rev(f[f[x]]);
rev(f[x]);rev(f[f[x]]);rev(f[f[f[x]]]);
continue;
}
if (o==)
{
R(x);
Wl(dev[x]+val[x]+add[f[x]]);
continue;
}
it=Ans.begin();
W(*it);
it=Ans.end();it--;
Wl(*it);
}
}
/*
input
5 12
10 20 30 40 50
2 3 4 5 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
1 4 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
3
output
10
36
28
40
36
9
57
27
28
29
9 57
*/

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