BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和
3994: [SDOI2015]约数个数和
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 898 Solved: 619
[Submit][Status][Discuss]
Description

Input
输入文件包含多组测试数据。
Output
T行,每行一个整数,表示你所求的答案。
Sample Input
7 4
5 6
Sample Output
121
HINT
1<=N, M<=50000
Source
分析:
首先$d(x)$是一个积性函数,其次这个东西有一个很神奇的性质:
$d(nm)=\sum _{x\mid n} \sum _{y\mid m} [gcd(x,y)==1]$
证明如下:(懒得写了...公式打起来好麻烦...直接摘抄Sengxian的解释...QwQ)
于是接下来就直接莫比乌斯反演就好了...
$\sum _{x=1}^{n} \sum _{y=1}^{m} \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{y} \right \rfloor \sum _{d\mid x d\mid y}\mu (d)$
$=\sum _{d=1}^{x} \mu(d) \sum _{i=1}^{\frac {n}{d}} \left \lfloor \frac{n}{id} \right \rfloor \sum _{j=1}^{\frac {m}{d}} \left \lfloor \frac{m}{jd} \right \rfloor$
现在有一个有用的公式:
$\left \lfloor \frac{n}{xy} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{ \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor }{y} \right \rfloor$
于是乎,我们定义$f(x)=\sum _{i=1}^{x} \left \lfloor \frac{x}{i} \right \rfloor$,
那么式子就变成酱紫:
$\sum _{d=1}^{n} \mu(d) f(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) f(\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)$
时间复杂度:$O(N\sqrt{N}+T\sqrt{N})$
代码:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std; const int maxn=50000+5; int n,m,cas,cnt,mu[maxn],pri[maxn],vis[maxn];
long long ans,f[maxn]; inline long long calc(int x){
long long res=0;
for(int i=1,r;i<=x;i=r+1){
r=x/(x/i);
res+=(x/i)*(r-i+1);
}
return res;
} inline void prework(void){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=50000;i++){
if(!vis[i])
vis[i]=1,pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=50000;j++){
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
mu[i*pri[j]]=0;break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=50000;i++) mu[i]+=mu[i-1],f[i]=calc(i);
} signed main(void){
scanf("%d",&cas);prework();
while(cas--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);ans=0;
for(int i=1,r;i<=n;i=r+1){
r=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=f[n/i]*f[m/i]*(mu[r]-mu[i-1]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
By NeighThorn
BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和的更多相关文章
- BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和 [莫比乌斯反演 转化]
2015 题意:\(d(i)\)为i的约数个数,求\(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m d(ij)\) \(ij\)都爆int了.... 一开始想容斥一下 ...
- 【刷题】BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和
Description 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求 Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. Output T ...
- ●BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和
题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994 题解: 莫比乌斯反演 (先定义这样一个符号[x],如果x为true,则[x]=1,否则 ...
- bzoj 3994 [SDOI2015]约数个数和——反演
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994 \( d(i*j)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j ...
- BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和3994: [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994 https://blog.csdn.net/qq_36808030/article/deta ...
- BZOJ.3994.[SDOI2015]约数个数和(莫比乌斯反演)
题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\] \(Solution\) 有结论:\[d(nm)=\sum_{i|d}\sum_{j|d ...
- 【BZOJ 3994】3994: [SDOI2015]约数个数和(莫比乌斯反演)
3994: [SDOI2015]约数个数和 Description 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求 Input 输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接 ...
- [BZOI 3994] [SDOI2015]约数个数和(莫比乌斯反演+数论分块)
[BZOI 3994] [SDOI2015]约数个数和 题面 设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求\(\sum _{i=1}^n \sum_{i=1}^m d(i \times j)\) T组询问 ...
- 【BZOJ】3994: [SDOI2015]约数个数和
题意: \(T(1 \le T \le 50000)\)次询问,每次给出\(n, m(1 \le n, m \le 50000)\),求\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} ...
随机推荐
- .NET中调用不安全代码
.NET中是不允许不安全的代码的,比如指针等.但有些特殊场合还是需要用到指针,这时候就需要在你的代码块上加上unsafe标签.如: 1: unsafe static void Main( ...
- ISAP 最大流 最小割 模板
虽然这道题用最小割没有做出来,但是这个板子还是很棒: #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> # ...
- tensorflow学习笔记(2)-反向传播
tensorflow学习笔记(2)-反向传播 反向传播是为了训练模型参数,在所有参数上使用梯度下降,让NN模型在的损失函数最小 损失函数:学过机器学习logistic回归都知道损失函数-就是预测值和真 ...
- DP入门(2)——DAG上的动态规划
有向无环图(DAG,Directed Acyclic Graph)上的动态规划是学习动态规划的基础.很多问题都可以转化为DAG上的最长路.最短路或路径计数问题. 一.DAG模型 [嵌套矩形问题] 问题 ...
- Camera2与TextureView使用
package com.intsig.bcrsdk.demo.Activity; import android.annotation.TargetApi; import android.app.Act ...
- 自定义Json格式
老铁们都知道,一般的json格式就是键值对格式,在一些特定的框架或者系统中,会用到自定义格式的json文件,假设我们要得到的特定格式json格式如下: {"A":"2&q ...
- 指针C语言
一.PTA实验作业 题目一:6-7输出月份英文名 1.PTA提交列表 2.设计思路和流程图 这题只需补充子函数,定义指针数组month[12],分别从一月到十二月,再定义一个字符,让它为NULL,当输 ...
- 一种保持顺序的Properties
其实properties有没有顺序都一样 程序都能正常运行 但看着就比较闹心 所以网上找了找 还真有人给了个例子实现读Property的有序 但是删除某些属性之后 写入又有问题 会异常 后来重写了一下 ...
- Android 多屏幕适配 dp和px的关系
一直以来别人经常问我,android的多屏幕适配到底是怎么弄,我也不知道如何讲解清楚,或许自己也是挺迷糊. 以下得出的结论主要是结合官方文档进行分析的https://developer.android ...
- hibernate笔记(四)
目标: 一.hibernate查询 二.hibernate对连接池的支持 三.二级缓存 一.hibernate查询 1. 查询概述 1) Get/load主键查询 2) 对象导航查询 3) HQL查询 ...