【ZOJ】3329 One Person Game

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3754

题意：有三个色子，分别有k1、k2、k3个面，权值分别是1～k1, 1~k2, 1~k3，等概率朝上。如果朝上的面分别为a、b、c，则分数置0，否则累加权值和。当权值和>n时则结束，求期望次数。T组数据。（T<=300; 1<k1,k2,k3<=6）

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=805;
double A[N], C[N];
int n, p[500], k1, k2, k3, a, b, c;
int main() {
	int T, all, del;
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d%d%d%d%d", &n, &k1, &k2, &k3, &a, &b, &c);
		all=0;
		del=a+b+c;
		for(int i=1; i<=k1; ++i)
			for(int j=1; j<=k2; ++j)
				for(int k=1; k<=k3; ++k)
					p[++all]=i+j+k;
		for(int i=n; i>=0; --i) {
			for(int j=1; j<=all; ++j) A[i]+=A[i+p[j]];
			A[i]-=A[i+del]-1;
			A[i]/=all;
			for(int j=1; j<=all; ++j) C[i]+=C[i+p[j]];
			C[i]-=C[i+del];
			C[i]/=all;
			C[i]+=1;
		}
		printf("%.15f\n", C[0]/(1-A[0]));
		memset(A, 0, sizeof(double)*(n+1));
		memset(C, 0, sizeof(double)*(n+1));
	}
	return 0;
}
/*
A[i]=(\sum_{j} A[j] - A[i+a+b+c] + 1)/(k1*k2*k3)
C[i]=(\sum_{j} C[j] - C[i+a+b+c])/(k1*k2*k3) + 1
*/

　　

设$d[i]$表示当前分数为$i$时到游戏结束的期望次数。容易推得公式：

$$d[i]=(\sum_{j} d[j]-d[i+a+b+c]+d[0])/(k1*k2*k3)+1, j是转移到的状态$$

发现每一个都有一个循环的$d[0]$，那么我们可以将每一个状态表示为关于$d[0]$的方程的（在这里我是sb了没想到）

（如果不只是$d[0]$一个的话，那么最好用高斯消元）

所以我们只需要推系数即可！设$d[i]=A[i]d[0]+C[i]$

首先

$$
\begin{align}
& \sum_{j} d[j] - d[i+a+b+c] \\
=& \sum_{j} (A[j]d[0]+C[j]) - d[i+a+b+c] \\
=& \sum_{j} A[j]d[0] + \sum_{j} C[j] - A[i+a+b+c]d[0]-C[i+a+b+c]
\end{align}
$$

所以

$$d[i]=(d[0]\sum_{j} A[j] + \sum_{j} C[j] - A[i+a+b+c]d[0]-C[i+a+b+c] + d[0])/(k1*k2*k3)+1$$

所以

$$
\begin{align}
A[i] = & (\sum_{j} A[j] - A[i+a+b+c] + 1)/(k1*k2*k3)\\
C[i] = & (\sum_{j} C[j] - C[i+a+b+c])/(k1*k2*k3) + 1
\end{align}
$$

最后答案是$d[0]=C[0]/(1-A[0])$