stanford coursera 机器学习编程作业 exercise 3（逻辑回归实现多分类问题）

本作业使用逻辑回归(logistic regression)和神经网络(neural networks)识别手写的阿拉伯数字(0-9)

关于逻辑回归的一个编程练习，可参考：Stanford coursera Andrew Ng 机器学习课程编程作业（Exercise 2）及总结

下面使用逻辑回归实现多分类问题：识别手写的阿拉伯数字(0-9)，使用神经网络实现：识别手写的阿拉伯数字(0-9)，请参考：神经网络实现

数据加载到Matlab中的格式如下：

一共有5000个训练样本，每个训练样本是400维的列向量（20X20像素的 grayscale image），用矩阵 X 保存。样本的结果(label of training set)保存在向量 y 中，y 是一个5000行1列的列向量。

比如 y = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10......)^T，注意，由于Matlab下标是从1开始的，故用 10 表示数字 0

①样本数据的可视化

随机选择100个样本数据，使用Matlab可视化的结果如下：

②使用逻辑回归来实现多分类问题(one-vs-all)

所谓多分类问题，是指分类的结果为三类以上。比如，预测明天的天气结果为三类：晴(用y==1表示)、阴(用y==2表示)、雨(用y==3表示)

分类的思想，其实与逻辑回归分类(默认是指二分类，binary classification)很相似，对“晴天”进行分类时，将另外两类(阴天和下雨)视为一类：(非晴天)，这样，就把一个多分类问题转化成了二分类问题。示意图如下：（图中的圆圈 表示：不属于某一类的 所有其他类）

对于N分类问题(N>=3)，就需要N个假设函数(预测模型)，也即需要N组模型参数θ（θ一般是一个向量）

然后，对于每个样本实例，依次使用每个模型预测输出，选取输出值最大的那组模型所对应的预测结果作为最终结果。

因为模型的输出值，在sigmoid函数作用下，其实是一个概率值。，注意：h_θ⁽¹⁾(x)，h_θ⁽²⁾(x)，h_θ⁽³⁾(x)三组 模型参数θ 一般是不同的。比如：

h_θ⁽⁾(x)，输出 预测为晴天(y==)的概率

h_θ⁽⁾(x)，输出 预测为阴天(y==)的概率

h_θ⁽⁾(x)，输出 预测为雨天(y==)的概率

③Matlab代码实现

对于上面的识别阿拉伯数字的问题，一共需要训练出10个逻辑回归模型，每个逻辑回归模型对应着识别其中一个数字。

我们一共有5000个样本，样本的预测结果值就是：y=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)，其中 10 代表 数字0

我们使用Matlab fmincg库函数 来求解使得代价函数取最小值的 模型参数θ

function [all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels, lambda)
%ONEVSALL trains multiple logistic regression classifiers and returns all
%the classifiers in a matrix all_theta, where the i-th row of all_theta
%corresponds to the classifier for label i
%   [all_theta] = ONEVSALL(X, y, num_labels, lambda) trains num_labels
%   logisitc regression classifiers and returns each of these classifiers
%   in a matrix all_theta, where the i-th row of all_theta corresponds
%   to the classifier for label i

% Some useful variables
m = size(X, 1);% num of samples
n = size(X, 2);% num of features

% You need to return the following variables correctly
all_theta = zeros(num_labels, n + 1);

% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];

% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: You should complete the following code to train num_labels
%               logistic regression classifiers with regularization
%               parameter lambda.
%
% Hint: theta(:) will return a column vector.
%
% Hint: You can use y == c to obtain a vector of 1's and 0's that tell use
%       whether the ground truth is true/false for this class.
%
% Note: For this assignment, we recommend using fmincg to optimize the cost
%       function. It is okay to use a for-loop (for c = 1:num_labels) to
%       loop over the different classes.
%
%       fmincg works similarly to fminunc, but is more efficient when we
%       are dealing with large number of parameters.
%
% Example Code for fmincg:
%
%     % Set Initial theta
%     initial_theta = zeros(n + 1, 1);
%
%     % Set options for fminunc
%     options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 50);
%
%     % Run fmincg to obtain the optimal theta
%     % This function will return theta and the cost
%     [theta] = ...
%         fmincg (@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == c), lambda)), ...
%                 initial_theta, options);
%
initial_theta = zeros(n + 1, 1);

options = optimset('GradObj','on','MaxIter',50);

for c = 1:num_labels %num_labels 为逻辑回归训练器的个数，num of logistic regression classifiers
all_theta(c, :) = fmincg(@(t)(lrCostFunction(t, X, (y == c),lambda)), initial_theta,options );
end
% =========================================================================
end

lrCostFunction，完全可参考：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/6078530.html 里面的 正则化的逻辑回归模型实现costFunctionReg.m文件

下面来解释一下 for循环：

num_labels 为分类器个数，共10个，每个分类器(模型)用来识别10个数字中的某一个。

我们一共有5000个样本，每个样本有400中特征变量，因此：模型参数θ 向量有401个元素。

initial_theta = zeros(n + 1, 1); % 模型参数θ的初始值(n == 400)

all_theta是一个10*401的矩阵，每一行存储着一个分类器(模型)的模型参数θ 向量，执行上面for循环，就调用fmincg库函数 求出了 所有模型的参数θ 向量了。

求出了每个模型的参数向量θ，就可以用 训练好的模型来识别数字了。对于一个给定的数字输入(400个 feature variables) input instance，每个模型的假设函数h_θ⁽ⁱ⁾(x) 输出一个值(i = 1,2,...10)。取这10个值中最大值那个值，作为最终的识别结果。比如g(h_θ⁽⁾(x))==0.96 比其它所有的 g(h_θ⁽ⁱ⁾(x)) (i = 1,2,...10,但 i 不等于8) 都大，则识别的结果为 数字

function p = predictOneVsAll(all_theta, X)
%PREDICT Predict the label for a trained one-vs-all classifier. The labels
%are in the range 1..K, where K = size(all_theta, 1).
%  p = PREDICTONEVSALL(all_theta, X) will return a vector of predictions
%  for each example in the matrix X. Note that X contains the examples in
%  rows. all_theta is a matrix where the i-th row is a trained logistic
%  regression theta vector for the i-th class. You should set p to a vector
%  of values from 1..K (e.g., p = [1; 3; 1; 2] predicts classes 1, 3, 1, 2
%  for 4 examples) 

m = size(X, 1);
num_labels = size(all_theta, 1);

% You need to return the following variables correctly
p = zeros(size(X, 1), 1);

% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];

% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Complete the following code to make predictions using
%               your learned logistic regression parameters (one-vs-all).
%               You should set p to a vector of   (from 1 to
%               num_labels).
%
% Hint: This code can be done all vectorized using the max function.
%       In particular, the max function can also return the index of the
%       max element, for more information see 'help max'. If your examples
%       are in rows, then, you can use max(A, [], 2) to obtain the max
%       for each row.
%       

[~,p] = max( X * all_theta',[],2); % 求矩阵(X*all_theta')每行的最大值，p 记录矩阵每行的最大值的索引
% =========================================================================
end