poj3017 Cut the Sequence 单调队列 + 堆 dp

描述

　　把一个正数列 $A$分成若干段， 每段之和 不超过 $M$， 并且使得每段数列的最大值的和最小， 求出这个最小值。

题目链接

题解

　　首先我们可以列出一个$O(n^2)$ 的转移方程 ： $F_i = \min( F_j + \max( A_k ) )  $ $ j < i  \&\&   j < k <= i$

　　然后我们可以考虑毒瘤优化。

　　按照lyd的书中的思路， j 想要成为 可能的最优决策， 必须满足两个条件之一 :

1. 　　j 是最小的使    $\sum\limits_{k= j + 1}^ia_k  <= M$成立的数
2. $\forall k \in [j + 1, i] , A_j>A_k$

　　可以用反证法来证明。

　　对于第一个条件，可以在$O(n)$ 时间内求出所有的$j$， 并进行决策。

　　接着构造一个单调队列， 满足 $j$ 递增， $A_j$ 递减 ——  若 $A[ j_1]< A[j _2]$则不满足第二个性质， 只能由让$j$ 满足第一个条件, 将$ j_1$弹出队列即可。

　　查询在队列中的最优决策时， 队首不一定就是最有决策， 需要用 STL- set 来储存队列中的 $ F_j + \max(A_k)$ $ j < i && j < k <=i$, 查询set中的最小值并更新答案。

　　而 $F_j$是已经求出的，最后的问题就是如何快速求出 $\max(A_k)$ 。 单调队列中的 元素 $j$的下一个元素就是要求的$\max(A_k)$。 因为单调队列中$A_j$是递减的。　　

　　另外还有许多细节需要注意，看代码吧（

代码

 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<set>
 #define rep(i,a,b) for( int i = (a); i <= (b); ++i )
 #define per(i,a,b) for( int i = (a); i >= (b); --i )
 #define rd read()
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const int N = 2e5 + 1e4;

 int n, a[N], q[N];
 ll f[N], m;

 set<ll>st;

 int read() {
     int X = , p = ; char c = getchar();
     for(; c > '' || c < ''; c = getchar() ) if( c == '-' ) p = -;
     for(; c >= '' && c <= ''; c = getchar() ) X = X *  + c - '';
     return X * p;
 }

 inline ll cmin( int A ,int B ) {
     return A < B ? A : B;
 }

 int main()
 {
     n = rd;
     scanf("%lld",&m);
     rep( i, , n ) a[i] = rd;
     f[] = ;
     int low = , l = , r = ;
     ll sum = ;
     set<ll>::iterator it;
     rep( i, , n ) {
         sum += a[i];
         while( sum > m ) sum -= a[++low]; // 求出最小的j使得连续一段和不超过m
         if( low >= i ) return printf("-1\n"), ;
         while( l <= r && q[l] < low ) {//检验队首是否满足连续和不超过m
             if( l < r ) st.erase( f[q[l]] + a[q[l+]]);//队列中删除被弹出的答案
             l++;
         }
         while( l <= r && a[q[r]] <= a[i] ) {//使队列递减
             if( l < r ) st.erase( f[q[r - ]] + a[q[r]]);
             r--;
         }
         q[++r] = i;
         if( l < r ) st.insert( f[q[r - ]] + a[q[r]]);//加入i，这样才能更新出可行的最优答案
         f[i] = f[low] + a[q[l]];
         if( st.size() ) {
             it = st.begin();
             f[i] = cmin( *it, f[i]);
         }
     }
     printf("%lld\n", f[n]);
 }