线性代数期末大总结I

行列式

n阶行列式的计算：

\[\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum(-1)^{t}a_{1p_1}a_{2p_3}\cdots a_{np_n}
\]

其中t为排列$p_1p_2p_3 \cdots p_n$的逆序数，由于这样的排列共有$n!$个，所以n阶行列式共有$n!$项。

行列式的性质：

行列式与他的转置行列式相等
对换行列式的两行/列，行列式变号

可推出：如果行列式有两行/列完全相等，则行列式等于0
行列式的某一行/列中多有元素乘以k，等于k乘以此行列式
行列式中如果有两行/列元素成比例，则此行列式等于0
把行列式的某一行/列元素同乘以某数k，再加到另一行/列对应元素上，行列式不变
如下：

\[若D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & \cdots & a_{in}+a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|
\]

\[则D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}^, & a_{i2}^, & \cdots & a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|
\]

行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。

矩阵的运算

矩阵的一般运算

矩阵加法：两同型矩阵对应元素相加。
数与矩阵相乘：等于该矩阵所有元素同乘该数。
矩阵与矩阵相乘：如$AB$结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。
矩阵的转置：

\[(A^T)^T=A\\
(A+B)^T=A^T+B^T\\
(\lambda A)^T=\lambda A^T\\
(AB)^T=B^TA^T
\]
方阵的行列式：

\[|A^T|=|A|\\
|\lambda A|=\lambda^n|A|\\
|AB|=|A||B|
\]

伴随矩阵：

其中$A_{ij}$为$|A|$的代数余子式

\[矩阵A的伴随矩阵A^*=
\left[
\begin{matrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\
\end{matrix}
\right] \\
可得：AA^*=A^*A=|A|E
\]

逆矩阵

定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得$AB=BA=E$，那么称A可逆，B为A的逆矩阵。

若A可逆，则$|A| \neq 0$
若$|A| \neq 0$，则:

\[A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}
\]

当$|A|=0$时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知：

A是可逆矩阵的充分必要条件是$|A| \neq 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

逆矩阵满足下述运算规律：

\[(A^{-1})^{-1}=A \\
(\lambda A)^{-1}=\frac{A^{-1}}{\lambda} \\
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]

逆矩阵的初步运用

设$\varphi (A)=a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m$为矩阵A的m次多项式。

如果$A=P\Lambda P^{-1}$，则$A^k = P\Lambda^kP^{-1}$，从而：

\[\begin{align}
\varphi(A)
& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m \\
& = Pa_0EP^{-1} + Pa_1\Lambda P^{-1} + \cdots + Pa_m\Lambda^m P^{-1} \\
& = P(a_0E + a_1\Lambda + \cdots + a_m\Lambda^m)P^{-1} \\
& = P \varphi(\Lambda)P^{-1}
\end{align}
\]
如果$\Lambda = diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$为对角矩阵，则$\Lambda^k = diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)$，从而：

\[\begin{align}\varphi(\Lambda)& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\\& = \left[\begin{matrix} \varphi(\lambda_1) \\ &\varphi(\lambda_2)\\ &&\ddots\\ &&&\varphi(\lambda_n)\end{matrix}\right]\end{align}
\]

克拉默法则

如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零，则方程组有唯一解：
\[x_n = \frac{|A_n|}{|A|}
\]

分块矩阵

转置：

\[A=\left[\begin{matrix}A_{11} & \cdots & A_{1r}\\\vdots & & \vdots\\A_{s1} & \cdots & A_{sr}\\\end{matrix}\right]\\A^T=\left[\begin{matrix}A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T\\\vdots & & \vdots\\A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T\\\end{matrix}\right]
\]

分块对角矩阵：$A_i$是方阵，则如下A分块矩阵为分块对角矩阵

\[A=\left[\begin{matrix}A_{1} \\& A_2\\& & \ddots\\& & & A_s\end{matrix}\right]
\]

分块对角矩阵有如下性质：

\[|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_s|\\A^{-1}=\left[\begin{matrix}A_{1}^{-1} \\& A_2^{-1}\\& & \ddots\\& & & A_s^{-1}\end{matrix}\right]
\]

矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与B行等价。
如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，则称矩阵A与B列等价。
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价。
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。

行阶梯形矩阵：非零行在零行上面，非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。

行最简形矩阵：非零行的首非零元为1，首非零元所在的列的其余元均为0。

方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵$P_1P_2\cdots P_l$使得$A=P_1P_2\cdots P_l$。

可推出：方阵A可逆的充要条件是A与E行等价。

矩阵的秩

K阶子式与秩：在m行n列的矩阵A中，任取k行k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变相对位置而得到的K阶行列式，称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式，那么r就为A的秩，记作R(A)=r 。

如果A行等价B，则A与B中非零子式的最高阶数相等。
$R(A)=R(A^T)$。
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵。
初等变换作为一种运算，其深刻意义在于不改变矩阵的秩。

性质（不完全）：

$R(A+B) \leq R(A)+R(B)$
$R(AB) \leq min\{R(A), R(B)\}$
若$A_{m,n}B_{n,l}=O$，则$R(A) + R(B) \leq n$
若$AB=O$且A为满秩矩阵，则$B=O$。

线性方程组的解

n元线性方程组$Ax=b$ 。

无解充要条件是$R(A)<R(A,b)$。
唯一解充要条件$R(A)=R(A,b)=n$。
无穷解充要条件$R(A)=R(A,b)<n$

$Ax=0$有非零解的充要条件是$R(A)<n$。
矩阵方程$AX=B$有解的充要条件是$R(A)=R(A,B)$。
设$AB=C$，则$R(C)\leq min\{R(A), R(B)\}$

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