[luogu7418]Counting Graphs P

参考[luogu7417]，同样求出最短路，得到二元组$(x,y)$并排序，记$tot_{(x,y)}$为$(x,y)$的数量

其中所给的两个条件，即分别要求：

1.$(x,y)$只能和$(x\pm 1,y\pm 1)$连边

2.每一个$(x,y)$都向$(x-1,y\pm 1)$中的一个连边、$(x\pm 1,y-1)$中的一个连边

（另外，注意在$x+1=y$时$(x+1,y-1)$也即为$(x,y)$自身）

从前往后依次dp，假设考虑到二元组为$(x,y)$，将之前二元组分为两类——

(1)对于其中不为$(x,y)$的二元组之后已经不存在能通过连边满足第2个条件的点了，那么就需要保证第2个条件都已经满足，即状态中不需要再记录

(2)对于二元组$(x,y)$，之后也不存在$(x-1,y\pm 1)$的点了，因此$x$的一维必须要已经满足，并记录$y$的一维不满足的数个数即可

由此，即得到一个二维的状态，将其记为$f_{(x,y),i}$（其中$i$的定义参考(2)中）

关于转移，有以下四类本质不同的边：

(1)$(x,y)$与$(x-1,y+1)$中$y$的一维已经满足点的的边

(2)$(x,y)$与$(x-1,y+1)$中$y$的一维仍未满足的点的边

(3)$(x,y)$与$(x-1,y-1)$的边

(4)若$x+1=y$，$(x,y)$和$(x,y)$之间的边

先转移前两类边（避免出现三维状态），枚举后者的点数，转移即
$$
f_{(x,y),i}={tot_{(x,y)}\choose i}\sum_{j=0}^{tot_{(x-1,y+1)}}G(tot_{(x-1,y+1)},j,tot_{(x,y)}-i)f_{(x-1,y+1),j}
$$
（注意此时的$i$的定义并不为最终的定义，仅是一个中间过程）

其中$G(x,z,y)$表示在左边$x$个点和右边$y$个点连边的$2^{xy}$张图中，满足左边特定的$z$个点（如前$z$个点）和右边的$y$​个点度数均非0的方案数，对左边容斥有
$$
G(x,z,y)=\sum_{i=0}^{z}(-1)^{i}{z\choose i}(2^{x-i}-1)^{y}
$$
再转移第3类边，考虑转移的状态$f_{(x,y),j}$，这$j$个点必须都选择（否则$x$这一维不满足），因此转移即
$$
f_{(x,y),i}=\sum_{j=0}^{tot_{(x,y)}}{tot_{(x,y)}-j\choose i}(2^{tot_{(x-1,y-1)}}-1)^{tot_{(x,y)}-i}f_{(x,y),j}
$$
（这里是类似于01背包的，即后者$f_{(x,y),j}$应该是未转移第3类边的结果）

最后转移第4类边，其实这只是一个特例，更完整的情况应该是对于$(x+1,y-1)$不再出现的点（即其之后不再参与转移，之后也没有点可以帮助其满足第2个条件）将其的贡献乘到答案上

具体的，这类状态又分为两类：

1.$x+1\ne y$，这类状态不能通过自环使其满足条件，因此贡献即$f_{(x,y),0}$

2.$x+1=y$，这还可以通过自环使其满足条件

具体的，贡献即$\sum_{i=0}^{tot_{(x,y)}}G(tot_{(x,y)},i)f_{(x,y),i}$，其中$G(x,y)$表示在$x$个点中任意连边的$2^{\frac{x(x+1)}{2}}$张图中（允许自环），满足特定的$y$个点度数均非0的方案数，对这$y$​个点容斥有
$$
G(x,y)=\sum_{i=0}^{y}(-1)^{i}{y\choose i}2^{\frac{(x-i)(x-i+1)}{2}}
$$
不难发现$f$的状态数实际仅为$o(n)$，转移复杂度为$o(n^{2})$，总复杂度即$o(n^{3})$，可以通过

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 105
  4 #define M 10005
  5 #define mod 1000000007
  6 #define oo 0x3f3f3f3f
  7 #define ll long long
  8 struct Edge{
  9     int nex,to;
 10 }edge[M*3];
 11 queue<int>q;
 12 int t,n,m,E,x,y,ans,mi[M],Mi[N][N],C[N][N],head[N<<1],d[N<<1],tot[N][N],g[N],f[N];
 13 void add(int x,int y){
 14     edge[E].nex=head[x];
 15     edge[E].to=y;
 16     head[x]=E++;
 17 }
 18 int G(int x,int y){
 19     int ans=0;
 20     for(int i=0;i<=y;i++){
 21         int s=(ll)C[y][i]*mi[(x-i)*(x-i+1)/2]%mod;
 22         if (i&1)ans=(ans-s+mod)%mod;
 23         else ans=(ans+s)%mod;
 24     }
 25     return ans;
 26 }
 27 int G(int x,int z,int y){
 28     int ans=0;
 29     for(int i=0;i<=z;i++){
 30         int s=(ll)C[z][i]*Mi[x-i][y]%mod;
 31         if (i&1)ans=(ans-s+mod)%mod;
 32         else ans=(ans+s)%mod;
 33     }
 34     return ans;
 35 }
 36 int main(){
 37     mi[0]=1;
 38     for(int i=1;i<M;i++)mi[i]=2*mi[i-1]%mod;
 39     for(int i=0;i<N;i++){
 40         Mi[i][0]=1;
 41         for(int j=1;j<N;j++)Mi[i][j]=(ll)Mi[i][j-1]*(mi[i]-1)%mod;
 42     }
 43     for(int i=0;i<N;i++){
 44         C[i][0]=C[i][i]=1;
 45         for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
 46     }
 47     scanf("%d",&t);
 48     while (t--){
 49         scanf("%d%d",&n,&m);
 50         E=0,ans=1;
 51         memset(head,-1,sizeof(head));
 52         memset(d,oo,sizeof(d));
 53         memset(tot,0,sizeof(tot));
 54         for(int i=1;i<=m;i++){
 55             scanf("%d%d",&x,&y);
 56             add(x,y+n),add(y+n,x);
 57             add(x+n,y),add(y,x+n);
 58         }
 59         d[1]=0;
 60         q.push(1);
 61         while (!q.empty()){
 62             int k=q.front();
 63             q.pop();
 64             for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
 65                 if (d[edge[i].to]==oo){
 66                     d[edge[i].to]=d[k]+1;
 67                     q.push(edge[i].to);
 68                 }
 69         }
 70         if (d[n+1]==oo){
 71             for(int i=1;i<=n;i++)tot[0][min(d[i],d[i+n])]++;
 72             for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ll)ans*Mi[tot[0][i-1]][tot[0][i]]%mod;
 73             printf("%d\n",ans);
 74             continue;
 75         }
 76         for(int i=1;i<=n;i++)tot[d[i]+d[i+n]-d[n+1]>>1][min(d[i],d[i+n])]++;
 77         for(int x=0;x<=n;x++){
 78             memset(f,0,sizeof(f));
 79             f[0]=1;
 80             for(int y=x;y<=n;y++){
 81                 if (!tot[x][y]){
 82                     if (y-x<=(d[n+1]>>1))ans=(ll)ans*f[0]%mod;
 83                     else{
 84                         int s=0;
 85                         for(int i=0;i<=tot[x][y-1];i++)s=(s+(ll)G(tot[x][y-1],i)*f[i])%mod;
 86                         ans=(ll)ans*s%mod;
 87                     }
 88                     memset(f,0,sizeof(f));
 89                     f[0]=1;
 90                     continue;
 91                 }
 92                 if ((!x)&&(!y)){
 93                     f[0]=0,f[1]=1;
 94                     continue;
 95                 }
 96                 memcpy(g,f,sizeof(g));
 97                 memset(f,0,sizeof(f));
 98                 for(int i=0;i<=tot[x][y];i++){
 99                     int s=0;
100                     for(int j=0;j<=tot[x][y-1];j++)s=(s+(ll)G(tot[x][y-1],j,tot[x][y]-i)*g[j])%mod;
101                     f[i]=(f[i]+(ll)C[tot[x][y]][i]*s)%mod;
102                 }
103                 memcpy(g,f,sizeof(g));
104                 memset(f,0,sizeof(f));
105                 if (!x){
106                     f[tot[x][y]]=g[0];
107                     continue;
108                 }
109                 for(int i=0;i<=tot[x][y];i++)
110                     for(int j=0;j<=tot[x][y];j++)f[i]=(f[i]+(ll)C[tot[x][y]-j][i]*Mi[tot[x-1][y-1]][tot[x][y]-i]%mod*g[j])%mod;
111             }
112         }
113         printf("%d\n",ans);
114     }
115     return 0;
116 }