「题解」agc031_e Snuke the Phantom Thief

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题目

题目链接：洛谷 AT4695、AtCoder agc031_e。

题意简述

在二维平面上，有 \(n\) 颗珠宝，第 \(i\) 颗珠宝在 \((x_i,y_i)\) 的位置，价值为 \(v_i\)。

现在有一个盗贼想要偷这些珠宝。

现在给出 \(m\) 个限制约束偷的珠宝，约束有以下四种：

• 横坐标小于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗。
• 横坐标大于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗。
• 纵坐标小于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗。
• 纵坐标大于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗。

现在问你在满足这些约束的条件下，盗贼偷的珠宝的最大价值和是多少。

题解

约束与转化

这个约束有点难办，似乎并没有可能对其进行动态规划，因此我们考虑额外添加信息。

我们添加什么信息呢？考虑到限制是有关珠宝数量的，我们决定添加一个 偷珠宝的总数 的信息。

设偷珠宝 \(k\) 颗，并且珠宝按照的横坐标排序被偷的顺序编号为 \(1\sim k\)，那么前两种限制条件转化如下：

• 横坐标小于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗：
  
  若一个珠宝的编号 \(\texttt{id}\in[b_i+1,k]\)，那么一定有 \(x_{\texttt{id}}>a_i\)。
• 横坐标大于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗：
  
  若一个珠宝的编号 \(\texttt{id}\in[1,k-b_i]\)，那么一定有 \(x_{\texttt{id}}<a_i\)。

同理，我们可以得出珠宝按照的纵坐标排序被偷的顺序编号为 \(1\sim k\)，那么后两种限制条件转化如下：

• 纵坐标小于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗：
  
  若一个珠宝的编号 \(\texttt{id}\in[b_i+1,k]\)，那么一定有 \(y_{\texttt{id}}>a_i\)。
• 纵坐标大于等于 \(a_i\) 的珠宝最多偷 \(b_i\) 颗：
  
  若一个珠宝的编号 \(\texttt{id}\in[1,k-b_i]\)，那么一定有 \(y_{\texttt{id}}<a_i\)。

因此，我们得出，一个珠宝想要在按横坐标排序为第 \(i\)，纵坐标排序为第 \(j\) 时被偷，需要满足的坐标范围。

化腐朽为神奇的网络流

考虑上面的条件也不是很好动态规划，我们需要想到一种化腐朽为神奇的算法——网络流。

由于这个题目有多个互不相关的限制：

• 珠宝不能同时被偷两次及以上；
• 偷的珠宝价值要最大化；

我们考虑运用费用流建立网络流模型。

因为我们要限制横坐标，所以必须要有 \(k\) 个横坐标的限制，对应 \(s\to p_{1\sim k}\)，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。。

因为我们要限制纵坐标，所以必须要有 \(k\) 个纵坐标的限制，对应 \(q_{1\sim k}\to t\)，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。

因为我们要限制一个点不能被选择多次，所以我们需要拆点限流，对应 \(a_{1\sim n}\to b_{1\sim n}\)，流量为 \(1\)，费用为 \(v_i\)。

考虑到我们上面需要满足的限制，按照限制加边 \(p_i\to a_j\) 和 \(b_j\to q_i\) 即可，流量为 \(1\)，费用为 \(0\)。

如果上面的语言有点抽象，我们不妨画图理解。

整个建图如上所示，点数为 \(\Theta(n^2)\)，边数 \(\Theta(n^2)\)。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(void){
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

inline ll readll(void){
	reg char ch=getchar();
	reg ll res=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

inline int max(reg int a,reg int b){
	return a>b?a:b;
}

inline int min(reg int a,reg int b){
	return a<b?a:b;
}

inline ll max(reg ll a,reg ll b){
	return a>b?a:b;
}

const int MAXN=80+5;
const int MAXM=320+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;

namespace Network{
	const int MAXV=4*MAXN;
	const int MAXE=(MAXN*MAXN*2+3*MAXN)*2;
	const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	int cnt,head[MAXV],to[MAXE],w[MAXE],Next[MAXE];
	ll p[MAXE];
	inline void Add_Edge(reg int u,reg int v,reg int len,reg ll val){
		Next[++cnt]=head[u];
		to[cnt]=v,w[cnt]=len,p[cnt]=val;
		head[u]=cnt;
		return;
	}
	inline void Add_Tube(reg int u,reg int v,reg int len,reg ll val){
		Add_Edge(u,v,len,val);
		Add_Edge(v,u,0,-val);
		return;
	}
	bool inque[MAXV];
	int cur[MAXV];
	ll dis[MAXV];
	queue<int> Q;
	inline bool spfa(int s,reg int t){
		fill(dis+s,dis+t+1,inf);
		inque[s]=true,dis[s]=0,Q.push(s);
		while(!Q.empty()){
			reg int u=Q.front();
			Q.pop();
			inque[u]=false;
			cur[u]=head[u];
			for(reg int i=head[u];i;i=Next[i]){
				int v=to[i];
				if(dis[v]>dis[u]+p[i]&&w[i]){
					dis[v]=dis[u]+p[i];
					if(!inque[v]){
						inque[v]=true;
						Q.push(v);
					}
				}
			}
		}
		return dis[t]!=inf;
	}
	bool vis[MAXV];
	inline int dfs(reg int u,reg int t,reg ll lim){
		if(u==t)
			return lim;
		vis[u]=true;
		reg int flow=0;
		for(reg int &i=cur[u];i;i=Next[i]){
			reg int v=to[i];
			if(dis[v]==dis[u]+p[i]&&w[i]&&!vis[v]){
				reg int f=dfs(v,t,min(lim-flow,w[i]));
				if(f){
					flow+=f;
					w[i]-=f,w[i^1]+=f;
					if(flow==lim)
						break;
				}
			}
		}
		vis[u]=false;
		return flow;
	}
	inline pair<int,ll> dinic(reg int s,reg int t){
		int res=0;
		ll cost=0;
		while(spfa(s,t)){
			reg int flow=dfs(s,t,inf);
			res+=flow,cost+=flow*dis[t];
		}
		return make_pair(res,cost);
	}
	inline void init(reg int s,reg int t){
		cnt=1,fill(head+s,head+t+1,0);
		return;
	}
}

struct Point{
	int x,y;
	ll v;
};

struct Limits{
	char ch;
	int a,b;
};

struct Interval{
	int l,r;
	inline Interval(reg int l=0,reg int r=0):l(l),r(r){
		return;
	}
	inline bool in(reg int x)const{
		return l<=x&&x<=r;
	}
};

inline Interval cap(const Interval& a,const Interval& b){
	return Interval(max(a.l,b.l),min(a.r,b.r));
}

int n,m;
Point a[MAXN];
Limits b[MAXM];

int main(void){
	n=read();
	for(reg int i=1;i<=n;++i)
		a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].v=readll();
	m=read();
	for(reg int i=1;i<=m;++i){
		do
			b[i].ch=getchar();
		while(!isalpha(b[i].ch));
		b[i].a=read(),b[i].b=read();
	}
	reg ll ans=0;
	for(reg int k=1;k<=n;++k){
		static Interval invx[MAXN],invy[MAXN];
		fill(invx+1,invx+k+1,Interval(-inf,inf));
		fill(invy+1,invy+k+1,Interval(-inf,inf));
		for(reg int i=1;i<=m;++i){
			switch(b[i].ch){
				case 'L':{
					for(reg int j=b[i].b+1;j<=k;++j)
						invx[j]=cap(invx[j],Interval(b[i].a+1,inf));
					break;
				}
				case 'R':{
					for(reg int j=1;j<=k-b[i].b;++j)
						invx[j]=cap(invx[j],Interval(-inf,b[i].a-1));
					break;
				}
				case 'D':{
					for(reg int j=b[i].b+1;j<=k;++j)
						invy[j]=cap(invy[j],Interval(b[i].a+1,inf));
					break;
				}
				case 'U':{
					for(reg int j=1;j<=k-b[i].b;++j)
						invy[j]=cap(invy[j],Interval(-inf,b[i].a-1));
					break;
				}
			}
		}
		reg int s=0,t=2*k+2*n+1;
		Network::init(s,t);
		for(reg int i=1;i<=k;++i){
			Network::Add_Tube(s,i,1,0);
			Network::Add_Tube(k+n+n+i,t,1,0);
		}
		for(reg int i=1;i<=n;++i)
			Network::Add_Tube(k+i,k+n+i,1,-a[i].v);
		for(reg int i=1;i<=k;++i)
			for(reg int j=1;j<=n;++j){
				if(invx[i].in(a[j].x))
					Network::Add_Tube(i,k+j,1,0);
				if(invy[i].in(a[j].y))
					Network::Add_Tube(k+n+j,k+n+n+i,1,0);
			}
		pair<int,ll> res=Network::dinic(s,t);
		if(res.first==k)
			ans=max(ans,-res.second);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}