Codeforces 1303G - Sum of Prefix Sums（李超线段树+点分治）

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门

个人感觉这题称不上毒瘤。

首先看到选一条路径之类的字眼可以轻松想到点分治，也就是我们每次取原树的重心 \(r\) 并将路径分为经过重心和不经过重心两类路径。对于第二类路径我们肯定可以在对 \(r\) 所有子树进一步分治的过程中将其变成第一类路径，因此我们只用考虑怎样计算第一类路径的贡献即可。

显然对于一条第一类路径 \(x\to y\)，我们要将其拆成 \(x\to r\) 和 \(r\to y\) 两部分分别处理，考虑怎样合并这两部分的贡献，我们记 \(dep_x\) 为 \(x\to r\) 路径上点的个数，\(sum_x\) 表示 \(x\to r\) 上所有点的权值之和，那么对于 \(x\to r\) 上某个点 \(z\) 而言，它对和的贡献即为 \((dep_x-dep_z+1)\times a_z\)，同理对于 \(r\to y\) 上某个点 \(z\)，它对和的贡献即为 \((dep_x-1+dep_z)\times a_z\)，那么我们考虑再设一个 \(sum1_x\) 表示 \(x\to r\) 路径上所有点的 \((dep_x-dep_z+1)\times a_z\)，\(sum2_x\) 表示 \(x\to r\) 路径上所有点的 \(dep_z\times a_z\) 之和。对于 \(x\) 的某个儿子 \(y\)，显然有 \(sum1_y=sum1_x+sum_y,sum2_y=sum2_x+dep_ya_y\)。

因此上面 \(x\to y\) 路径的权值就可以写作 \(sum1_x+(dep_x-1)sum_y+sum2_y\)，但注意到 \(r\) 既在 \(x\to r\) 的路径上也在 \(r\to y\) 的路径上，它的贡献被计算了两次，因此需减去 \(dep_xa_r\)，得到 \(sum1_x+(dep_x-1)sum_y+sum2_y-dep_xa_r\)，考虑怎样快速维护这个东西，我们显然要枚举 \(x,y\) 中的一个并快速维护另一个变量的决策，那么我们枚举什么好呢？注意到如果我们枚举 \(y\)，那么我们相当于求若干条形如 \(f_x(t)=(dep_x-1)t+sum1_x-dep_xa_r\) 的直线在 \(t=sum_y\) 处的最大值，而 \(sum_y\) 的值域过大不好直接李超线段树，要写个动态凸壳，过于毒瘤，因此考虑枚举 \(x\)，这样相当于我们要求若干条形如 \(f_y(t)=sum_y·t+sum2_y\) 的直线在 \(t=dep_x-1\) 处的最大值，这个值域是在 \([0,n-1]\) 范围内的，就可以李超线段树维护了。

算下复杂度，点分 1log，李超线段树全局插入是 1log 的，因此总复杂度 2log，可以通过此题。

最后说几个注意点：

1. 在点分治过程中注意要正反各跑一遍，因为假设按顺序枚举的子树依次是 \(t_1,t_2,\cdots,t_m\)，那么对于某个 \(i<j\)，有可能是 \(x\in t_i,y\in t_j\)，也有可能 \(x\in t_j,y\in t_i\)。
2. 每次点分完一个点后要清空李超树，但重新建树复杂度过高，因此可以考虑将修改的点记录在一个 std::vector 中每次将 vector 中的点的最大优势线段赋为空即可。

const int MAXN=1.5e5;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
int n,a[MAXN+5],hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0;
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
struct line{
	ll k,b;
	line(ll _k=0,ll _b=-INF):k(_k),b(_b){}
	ll get(int x){return 1ll*k*x+b;}
};
struct node{int l,r;line v;} s[MAXN*4+5];
void build(int k,int l,int r){
	s[k].l=l;s[k].r=r;if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
}
vector<int> opts;
void modify(int k,line v){
	int mid=s[k].l+s[k].r>>1;
	ll l1=s[k].v.get(s[k].l),r1=s[k].v.get(s[k].r),m1=s[k].v.get(mid);
	ll l2=v.get(s[k].l),r2=v.get(s[k].r),m2=v.get(mid);
	if(l1>=l2&&r1>=r2) return;
	if(l2>=l1&&r2>=r1) return s[k].v=v,opts.pb(k),void();
	if(m2>=m1){
		if(l2<l1) return modify(k<<1,s[k].v),s[k].v=v,void();
		else return modify(k<<1|1,s[k].v),s[k].v=v,void();
	} else {
		if(l2<l1) return modify(k<<1|1,v),void();
		else return modify(k<<1,v),void();
	}
}
ll query(int k,int x){
	if(s[k].l==s[k].r) return s[k].v.get(x);int mid=s[k].l+s[k].r>>1;
	return max(s[k].v.get(x),(x<=mid)?query(k<<1,x):query(k<<1|1,x));
}
bool vis[MAXN+5];int siz[MAXN+5],mx[MAXN+5],cent=0,subsiz[MAXN+5];
ll ans=0,sum[MAXN+5],_sum[MAXN+5],__sum[MAXN+5];int dep[MAXN+5];
void findcent(int x,int f,int tot){
	siz[x]=1;mx[x]=0;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f||vis[y]) continue;
		findcent(y,x,tot);siz[x]+=siz[y];
		chkmax(mx[x],siz[y]);
	} chkmax(mx[x],tot-siz[x]);
	if(mx[x]<mx[cent]) cent=x;
}
vector<int> pts;
void getdis(int x,int f){
	pts.pb(x);
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f||vis[y]) continue;
		dep[y]=dep[x]+1;sum[y]=sum[x]+a[y];
		_sum[y]=_sum[x]+sum[y];
		__sum[y]=__sum[x]+1ll*a[y]*dep[y];
		getdis(y,x);
	}
}
void divcent(int x){
	vis[x]=1;chkmax(ans,a[x]);dep[x]=1;
	sum[x]=_sum[x]=__sum[x]=a[x];
	modify(1,line(sum[x],__sum[x]));
	stack<int> stk;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(vis[y]) continue;
		sum[y]=sum[x]+a[y];dep[y]=2;
		_sum[y]=sum[x]+a[x]+a[y];
		__sum[y]=sum[x]+(a[y]<<1);
		pts.clear();getdis(y,x);subsiz[y]=pts.size();
		for(int i=0;i<pts.size();i++){
			int z=pts[i];
			chkmax(ans,_sum[z]+query(1,dep[z]-1)-1ll*a[x]*dep[z]);
		}
		for(int i=0;i<pts.size();i++){
			int z=pts[i];
			modify(1,line(sum[z],__sum[z]));
		} stk.push(y);
	}
	for(int i=0;i<opts.size();i++) s[opts[i]].v=line();
	opts.clear();
	while(!stk.empty()){
		int y=stk.top();stk.pop();
		pts.clear();getdis(y,x);
		for(int i=0;i<pts.size();i++){
			int z=pts[i];
			chkmax(ans,_sum[z]+query(1,dep[z]-1)-1ll*a[x]*dep[z]);
		}
		for(int i=0;i<pts.size();i++){
			int z=pts[i];
			modify(1,line(sum[z],__sum[z]));
		}
	} chkmax(ans,_sum[x]+query(1,0)-a[x]);
	for(int i=0;i<opts.size();i++) s[opts[i]].v=line();
	opts.clear();
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(vis[y]) continue;
		cent=0;findcent(y,x,subsiz[y]);
		divcent(cent);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);mx[0]=1e9;build(1,0,n);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),adde(u,v),adde(v,u);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	findcent(1,0,n);divcent(cent);printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}