0. demo

在拓扑学上,open set(开集)是对实数轴(real line)上开区间(open interval)的拓展。

  • 红色圆盘:{(x,y)|x2+y2<r2},蓝色圆圈:{(x,y)|x2+y2=r2}
  • 红色点集即为一种 open set,蓝色点集则为 boundary set,
  • 红色点集和蓝色点集的并构成了 closed set;

1. interior point 与 limit point

度量空间 (X,d) 中的任一子集 S,x 如果想成为 S 中的一个内点,则要求,存在一个 r>0,使得 {y|d(x,y)<r}∈S;

  • {y|d(x,y)<r} 刻画的其实是 x 在度量空间 (X,d) 中的邻域;

首先需要注意的是,极限点 x (limit point 或叫 accumulation point)作用的对象是拓扑空间 (X,d) 中的集合 M 上(也即极限点,是集合的极限点),x∈X 但 x 可以不属于集合 M,也即一个集合在某拓扑空间中的极限点,可以不在该集合中。

x 如果想要成为集合 M 的极限点,要求,∀ϵ>0(任给无穷小,open ball 的半径 radius),∃m∈M(总可以在集合 M 中找到),使得 m∈B(x,ϵ),

不妨考虑如下这样一种直观的例子,实数轴上 −r<x<r 的开区间内,当然也可将其视为集合,该集合的 limit point 显然就是两个端点(±r),分别以两个端点为圆心,以任意无限小半径(∀ϵ>0)画圆,总可以在内侧区域找到 ∃m∈M。

2. open ball 是 open sets 的证明

Proof that Open balls are Open sets

给定度量空间 (X,d),x∈X,r>0,构成一个 open ball,记为 B(x,r),此时需要证明的则是,B(x,r) 是一个 open set。

证明过程如下:

B(x,r)≠ϕ,在 B(x,r) 内选择一点 y(y∈B(x,r)),显然有 d(x,y)<r,不妨假定 d(x,y)=h,此时我们以 y 为中心点,以 r−h 为新的半径,构成 B(y,r−h)(因为 y 是任意变化的),取 z∈B(y,r−h),根据度量空间中的三角不等式性,有:

d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),d(x,y)=h,d(y,z)<r−h⇓d(x,z)<h+r−h=r

因此 z∈B(x,r),也即 B(y,r−h)⊂B(x,r),因此 y 是 B(x,r) 的一个内点(interior point),又因为 y 是 B(x,r) 内的任一点,则 B(x,r) 是一个 open set。

3. dense set

给定度量空间 (X,d),A⊂X,集合 A 是 dense set(密集)如果 ∀x∈X 是集合 A 的 limit point。

根据 limit point 的定义,也即 ∀r>0,总可以找到(∃a∈A),a∈B(x,r).

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