循环不变式是一种条件式(必须满足的条件,对循环而言是保持不变的,无论循环执行了多少次),循环语句没执行一次,就要求中间的结果必须符合不变式的要求。

  • (1)进入循环语句时,不变式必须成立;
  • (2)循环语句的循环体不能破坏不变式。也就是说,循环体开始循环时不变式成立,结束时也必须成立;
  • (3)如果循环语句终止时不变式,依旧成立,那么至少说明,循环在保持循环不变式上没有犯错。
// (**) 不变式在进入循环之前必须成立
while () {
// 循环体开始
...
// 循环体结束
// (**) 不变式在此处也必须成立
}

1. 插入排序的循环不变式

插入排序由 N-1 趟(pass)排序组成。对于 P = 1 趟到 P = N-1 趟,插入排序保证从位置 0 到位置 P 上的元素为已排序状态(sorted)。

也即从位置 0 到位置 P-1 上的元素是已排序的。

typedef int ElementType;
void InsertionSort(ElementType* A, int N) {
int j, P;
ElementType Tmp;
for (P = 1; P < N; ++P) {
Tmp = A[P]; // 应用循环不变式的地方
// 因为前 0 ~ P-1 位置上所有的元素都是位于已排序的状态;
// 所以当第一次出现 A[j-1] <= Tmp; 便找到了 Tmp 应该插入的位置
for (j = P; j > 0 && A[j-1] > Tmp; --j) {
A[j] = A[j-1];
} A[j] = Tmp;
}
}

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