Lucene 4.X 倒排索引原理与实现: (1) 词典的设计

词典的格式设计

词典中所保存的信息主要是三部分：

• Term字符串
• Term的统计信息，比如文档频率(Document Frequency)
• 倒排表的位置信息

其中Term字符串如何保存是一个很大的问题，根据上一章基本原理的表述中，我们知道，写入文件的Term是按照字典顺序排好序的，那么如何将这些排好序的Term保存起来呢？

1. 顺序列表式

一个直观的想法就是顺序列表的方式，即每个Term都占用相同的空间，然后大家依次排列下来，如图所示：

这种方式查找起来也很方便，由于Term是排好序的，而且每一项占用空间相同，就可以采取二分查找，较快的定位Term的位置。比如在文件中，词典的起始地址是FP，共保存了N个Term，每个Term占用固定大小M个Byte，则中间的Term的位置为，将此位置的M个Byte读取出来，转换为字符，如果是要找的Term则完毕，如果大于要找的Term，则在前半段二分查找，如果小于要找的Term，就在后半段二分查找。

这种方法的一个最大的缺点，从图中我们也可以看出，就是对空间的浪费，我们必须按照最长的词所占的空间来决定每一个Term的空间，有的Term很长，如图中的counterrevolutionary，有的Term则很短，如cab，对于短的Term来讲，是空间的巨大浪费。而且另一个棘手的问题是，我们很难知道最长的字符串到底有多长。

2. 指针列表式

有人要说了，这样空间太浪费，像我们八辈贫农，可不能浪费一点空间，咱们要排列就紧密排列，一个挨一个：

就算Term与Term之间有分隔符号，可是茫茫辞海，我去那里找我的Term啊，总不能每找一个Term都从头开始扫描吧，我倒是想二分查找，可是每个Term的空间都不相同，偏移量我可怎么算呢？

有了，虽然每个Term的长度不同，可是指针(文件中的指针也即偏移量)的长度是相同的，我们将指针放成一个列表，不是就可以二分查找了么？。

这种指针列表方式在Lucene中我们也会经常看到，而且不仅仅用在词典的格式设计中，到时候大家不要忘记它，为方便记忆，我们称之为指针列表规则。

3. 前端编码式

如果细心观察的同学会发现，Term按照字典顺序排序，有一个好处，就是相邻的Term很大可能性上会有相同的前缀，比如上面的例子中，共8个Term，其中字符“c”被保存了8遍，字符“a”保存了4遍，字符“l”保存了3遍，能不能将相同的前缀提取出来，只保存一份呢？

对于某个Term和前一个Term有相同的前缀的，后者仅仅保前缀在Term中的偏移量，外加后缀的部分，一般来说偏移量作为数字所占用的空间比字符要小得多，所以这种方式会进一步节约存储空间，这种方式成为前端编码(front coding)。

空间是节约了，那么如何快速的查找呢？二分法估计是不行了，而且解压缩也成了问题，因为要想知道一个Term的全貌，必须把前一个Term也解压缩出来，难不成每次查找都把整个词典都解压缩？当然不是，我们可以将Term分块，每一块都有一个排头兵，整个快是基于排头兵进行前端编码，每次解压缩，仅仅解压缩一个块就可以了:

对于排头兵，由于数量相对于整个词典数量少的多，可以使用指针列表方式存储从而可以进行二分查找，甚至可以全部加载到内存中，使得查找更加方便。这种前端编码加词典分块的方式在Lucene中也会被用到，我们姑且称之前缀分块规则。

4. 最小完美哈希

该省的空间都省了，下面该考虑一下查询速度的问题了，在每次查询的时候，为了定位倒排表，首先需要定位词典中Term的位置，就算是使用前端编码加词典分块的方式，也需要尽快的定位排头兵的位置，那么怎么才能找得快呢？

很多人首先想到的应该是哈希表，如果词典能够全部放在内存中，用哈希表O(1)就能定位Term的位置。但是哈希函数不好选啊，弄不好就有冲突，当然我们有各种方法来解决冲突，一种常用的方法就是后面挂个链表，冲突的都挂在一个位置就可以了。可要是冲突的多了，都堆在一个链表中，那不又成了顺序扫描了，哈希表的优势荡然无存。那么如何减少冲突呢？当然是哈希表越稀疏越好，哈希表有一个概念叫做装载因子(Load Factor)，装的越满因子越大，只要装载因子比较小，冲突的概率自然就小，可是随之而来的一个问题就是空间的浪费。

就没有一个既节省空间，又不发生冲突的方法么？好让咱多快好省的建设社会主义嘛。别说，还真有，听名字就很牛，叫最小完美哈希。我们一般所说的哈希函数，就是将m个字符串，映射到k个位置上去，一般需要稀疏，所以k大于等于m，还有可能冲突，而这个算法设计的哈希函数一个都不会冲突，这就是所谓的完美，而且k=m，也即一个空间也不浪费，这就是所谓的最小。当然在实际应用中，一般不要求那么的最小而且完美，为了查询效率，一般都倾向于牺牲一点空间来保证完美，有一些工具可以帮助我们来生成这样的哈希函数，比如Gperf(http://www.gnu.org/software/gperf/)，根据你的输入的字符串列表而生成哈希函数，再如CMPH(C Minimal Perfect Hashing Library，http://cmph.sourceforge.net/index.html)，它支持多种算法，可以快速处理大量的字符串，我们来介绍其中一种CHM算法，也即无环图的方法，为啥叫CHM呢？这种算法是根据Z.J. Czech, G. Havas, B.S. Majewski这三位老兄发表的一篇论文《An optimal algorithm for generating minimal perfect hash functions., Information Processing Letters, 43(5):257-264, 1992.》来的，所以借用三位名字中的首字母CHM来命名了这个算法。

按照最小完美哈希的定义，我们先假设有三个字符串String1, String2, String3，它们经过哈希运算后，String1映射为0，String2映射为1，String3映射为2，正好没有一个空间浪费，也没有一个哈希值冲突，这是我们想最后实现的结果，如图.

那么哈希函数是什么样子的，才能达到这种效果呢？我们先来看公式：

W表示需要哈希的字符串，m是字符串的个数。我们可以看出，这个哈希函数嵌套了两层，第一层先用两个函数和将字符串分别映射成为两个数字，和需要是独立的，因而映射出来的两个数字也是不同的，这两个数字的取值范围[0, n-1]，姑且认为n是一个比m大的数，至于n多大后面还会提到。

接着上面的例子，m=3，n假设为4，如图所示：

然后就进入第二层， 函数将和计算出的两个数字进行处理，得到最终的哈希值[0, m-1]。还是上面的例子， 函数如何设计才能使得

设计 函数，我们就使用无向图的方式，如图，将和计算出的数字作为顶点，而最终的哈希值作为连接两个顶点的边，我们想求的是各是什么，也即 函数的映射方式。

我们先假设，既然 函数要求，从而可以推出也是0，由，则推出，依此类推，。

这个算法最后能够成功，还有一个关键点，就是这个图必须是无环的，如果有环算法就会失败。还是上面的例子，比如，便产生了如图的有环图。

在有环图中，我们开始假设，最后绕了一圈回来，计算出，两者矛盾，算法失败。

那么怎样才能避免图有环呢？这就不是函数的事情了，轮到该好好的设计和函数了。从前面的描述中，我们知道，图中的节点是由和计算出来的，取值范围[0, n-1]，共n个，而边的个数是由最后的哈希值决定的，共m个，如果节点多边少，则出现环的概率就小，按照论文中的说法，n>2m是最好的。

另外对于函数和，我们采取这样的设计，对于每一个字符串w，都是由一系列字符组成的，对于每一个字符w[i]，生成一个取值[0, n-1]的随机数，从而形成一个表格，然后同样产生另一组随机数，形成另一个表格，然后形成下面的公式：

比如对于字符串“abc”，对于a出现在第一个位置，我们产生两个随机数，，同样对于b出现在第二个位置，也产生两个随机数，，对于c出现在第三个位置也产生两个随机数，，则,，则第一层完毕，下面就可以开始构建图了。

和如此设计怎么就可以保证图是无环的呢？当然不能保证随机生成的两个函数映射表最终形成的图就一定是无环的。好在咱们是基于随机数的，一组随机数最后发现有环，再来一组不就行了，直到形成的图无环为止，反正产生随机数又不要钱。

下面咱们就举一个完整的例子，将这个过程演示一遍。

一年有12个月，采用缩写就是：Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, Jul, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec。咱们就针对这些字符串生成一个最小完美哈希。一共12个字符串，m=12，要求n>2m，咱们就姑且取n=25。

首先第一步，构造随机数表和，每个字符串有三个字符，我们通过观察可以发现，第二个和第三个字符的组合也是唯一的，为简单起见，咱们仅仅考虑第二个和第三个字符，如图所示。

第二步，由随机数表，我们就可以计算出:

同理我们可以计算出:

第三步，由此我们可以得到图了，如图，我们从Jan开始构造图，Jan的顶点为5和12，边就是我们希望得到的最后哈希值0，Feb的顶点为5和22，边为1，Mar的顶点为22和12，边为2，不好！竟然出现环了。

我们只好重新生成随机数表，如图所示：

然后重新计算出:

重新计算出:

重新绘制图，如图：

最后一步，得到 函数的映射表。我们假设每个不连通的图中值最小的节点的 函数的映射为0，也即假设，然后进行推导，推导过程如图:

最后得出 函数的映射表如图：

自此最小完美哈希大功告成。

在用户查询字符串Aug的时候，我们就使用哈希函数：

正好找到哈希表中Aug所在的位置。

当然最小完美哈希唯一不够完美的地方就是，它是针对静态集合的，也即在构造最小完美哈希之前，所有的字符串都必须知道，因而对字符串的增删改不能很好的支持。

5. 双数组Trie树

对于字符串来说，还有一种查询效率较高的数据结构，叫做Trie树。

比如我们有一系列的字符串：{bachelor#, bcs#, badge#, baby#, back#, badger#, badness#}，我们之所以每个字符串都加上#，是希望不要一个字符串成为另外一个字符串的前缀。把它们放在Trie树中，如图所示。

在这棵Trie树中，每个节点都包含27个字符。最上面的是根节点，如果字符串的第一个字符是“b”，则“b”的位置就有一个指针指向第二个层次的节点，从这一层的节点开始，下面挂的整棵树，都是以“b”开头的字符串。第二层的节点也是包含27个字符，如果字符串的第二个字符是“c”则“c”的位置也有一个指针指向第三个层次的节点，第三个层次下面挂的整棵树都是以“bc”为前缀的，以此类推，直到碰到“#”，则字符串结束。通过这种数据结构，我们对于字符串的查找速度就和字符串的数量没有关系了，而是字符串有多长，我们就顶多查找多少个节点，而字符串的长度都是有限的，所以查询速度是相当的快。

当然细心的同学也发现了，高速度的代价就是空间占用太大，而且是指数增加的，还是以27为底数的。好在还是英文啊，说破天不过就是26个字母，要是中文可怎么办啊。所以咱们可不能有没有的都列在哪里，出现的字符咱就占用空间，不出现的咱可不浪费。基于这种理念，上面的那棵Trie树就变成了图的样子。

图中仅仅保留了已有的字符，并将每个节点变成了一种状态(State)，在没有任何输入的情况下，我们处于根节点的状态，当输入字符“b”后，便到了下一层的状态S_b ，当再输入字符“a”后，就到了再下一层的状态S_ba ，所有在S_ba 下面挂着的整棵树都是以“ba”作为前缀的。

熟悉编译原理或者形式语言的同学已经发现了，这是一个有限状态机。不熟悉的同学也不要紧，很容易理解，假设有一个门，有两个按钮“开”和“关”，代表用户的输入，门有两种状态，“开着”和“关着”。门的状态根据用户的输入而变化，比如门处于“关着”的状态，用户输入“开”，就转换到“开着”的状态，然后再点“关”，就回到“关着”的状态。当然也可以识别不合法的输入，比如门本来就“开着”，你还猛点“开”这个按钮，门或者报错，或者没有反应。在上面的有限状态机中也是这样的，一开始处于根节点的状态，用户输入“b”，就进入状态S_b，输入“c”，就进入状态S_bc ，再输入“s”，进入状态S_bcs ，最后用户输入“#”，字符串结束，进入状态S_bcs# ，说明字符串“bcs#”在我们的状态机里面是合法的，存在的。如果用户输入“b”之后输入“z”，在状态机中没有对应的状态，所以以“bz”开头的字符串是不存在的。通过我们的这个有限状态机，同样能够起到查询字符串的作用。

其实这个状态机还可以进一步简化。我们发现有的状态是有多个后续状态的，比如S_bac ，根据输入的不同进入不同的后续状态，而有的状态的后续状态是唯一的，比如当用户到达状态S_bach ，此后唯一的合法输入就是“elor#”，所以根本不需要一个个的进入状态S_bache ，S_bachel ，S_bachelo ，S_bachelor ，直到状态S_bachelor# 才发现用户输入是否存在，而是在到达状态S_bach 之后，直接比较剩余的字符串是否是“elor#”就可以了，所以上面的有限状态机可以变成图的样子，所谓的剩余的这些字符串，我们称之为后缀。

接下来的任务，就是如何将这个简化了的树形结构更加紧凑的保存起来了。我们在这里要介绍一种不需要占用太多空间的Trie树的数据结构，双数组Trie树。

顾名思义，双数组Trie树就是将上述的树形结构保存在两个数组中，那怎么保存呢？

我们来看上面的这个树形结构，多么像咱们的组织架构图啊，最上面的根节点是总经理，各个中间节点是各部门的经理，最后那些后缀就是咱们的员工了。现在公司要开会了，需要强行把这个树形结构压扁成数组结构，一个挨一个的坐，那最应该要维护的就是上下级的关系。对于总经理，要知道自己的直接下级，以及公司有多少领导干部。对于中层领导，一方面要知道自己的上级在哪里坐，下级在哪里坐；对于基层领导，除了知道上级在哪里坐，还需要知道员工在那里坐。

双数组Trie树就是一个维护上下级关系的一个数据结构。它主要包含两个数组BASE和CHECK，用来保存和维护领导干部之间的关系的，另外还有一个顺序结构TAIL，可以在内存中，也可以在硬盘上，用来安排咱们员工坐的。更形象的说法，两个数组就相当于主席台，而员工只有密密麻麻坐在观众席上了。

BASE和CHECK数组就代表主席台上的座位，如果第i位，BASE[i]和CHECK[i]都为0，说明这个位置是空的，还没有人坐。如果不是空的，说明坐着一位领导干部，BASE[i]数组里面是一个偏移量offset，通过它，可以计算出下属都坐在什么位置，比如领导S_b 有两个下属S_ba 和S_bc ，如果领导S_b 坐在第r个位置，则BASE[r]中保存了一个偏移量q(q>=1)，对于下属S_ba ，是由S_b 输入“a”到达的，我们将字符“a”编号成一个数字a，则S_ba 就应该坐在q+a的位置，同理S_bc 就应该坐在q+c的位置。CHECK[i]数组里面是一个下标，通过它，可以知道自己的领导坐在什么位置，比如刚才讲到的下属S_ba ，他坐在q+a的位置，他的领导S_b 坐在第r个位置，那么CHECK[q+a]里面等于r，同理CHECK[q+c]里面也应该是r，那BASE[q+a]和BASE[q+c]中保存的什么呢？当然就是S_ba 和S_bc 他们的下属的位子了。所以职场中，每个人都同时扮演两种角色，一方面是上司的下属，一方面是下属的上司，所以每个位子i都有两个数字BASE[i]和CHECK[i]，坐在每个位子上的人都应该知道，自己的上司是谁，下属是谁。

对于基层领导稍有不同，因为基层领导的下属就是普通员工了，不坐在双数组主席台上了，而是坐在TAIL观众席上了，所以对于基层领导，如果他坐在第i个位置，则BASE[i]就不是正的了，而是一个负的值p，表示他是基层领导，在双数组主席台上 没有下属了，而|p|则表示基层领导所下属的哪些普通员工在TAIL观众席上的位置。

至于TAIL观众席的结构，就非常简单了，普通员工嘛，别那么多讲究，一个挨一个的做，用$符合进行分割。

根据上述的原理，上面的那颗树保存在双数组里面应该如图，至于这里面的数据如何形成，下面会一步一步详细说明:

图中的最下方是对每个字符的编号。从图中我们可以看出，总经理S_ᵋ 总是坐在头一把交椅，CHECK[1]=20，主席台总共有20个位子，总经理当然应该对干部的总体情况有所把握。总经理的下属S_b 坐在BASE[1]+b = 1+2=3的位子上，S_b 的上司是总经理，所以CHECK[3]=1，S_b 的下属有两个S_ba 和S_bc ，他们的座位BASE[3]+a=6+1=7以及BASE[3]+c=6+3=9，自然CHECK[7]和CHECK[9]都等于3，以此类推。有人可能会困惑为什么BASE[1]是1而BASE[3]是6，不是1也不是5呢？这是在安排座位的过程中逐渐形成的，从下面双数组Trie树的形成过程大家会更详细的了解，在这里就简单说明一下，对于每一个坐在第i个位置的领导，BASE[i]里面都保存下属相对于他的offset，当然每个领导都希望offset越小越好，这样自己的下属也能坐在前面，对于总经理来说，当然他最牛，所以BASE[1]可以取最小值1，因为总经理刚坐下的时候，主席台是空的，他的下属随便坐都可以，对于其他的领导干部就不一定了，如果BASE[i]取1，结果计算后给自己的下属安排位置的时候，发现位置以及被先来的人坐了，所以没办法，只有增加BASE[i]，让自己的下属往后坐坐。对于状态S_bab ，S_bc ，S_bach ，S_back ，S_badn ，S_badger ，S_badge# ，他们的BASE[i]都是负的，所以他们是基层领导，通过BASE[i]里面的值的绝对值，可以找到TAIL观众席中自己的下属，比如S_bab 的BASE值为-17，在TAIL中第17个字符开始是“y#$”，所以连接起来就是“baby#”。当然TAIL中也有一些很奇怪的，比如第20和第22个都只保存了“#$”，这说明了，除了结束符“#”之外，在最后一个字符才与其他的字符串做了区分，第20个就是这样的，“back#”到了字符“k”才和“bachelor#”有所区分(“back#”和“bachelor#”都是以bac为开头的，都归S_bac 领导，必须提拔字符“k”和“h”到主席台，形成状态S_back 和S_bach 来区分两个团队)，既然分开了，就是一个单独的团队，虽然后面只跟了一个“#”，S_back 作为一个小小领导，也需要等上主席台，别拿村长不当干部。其实还有更惨的，对于第13个，就只剩下分隔符“$”，这是因为“badge”完全是另外一个字符串“badger”的前缀，多亏加了个结束符“#”才将两者区分开来，对于“badge#”来讲，到了“#”字符才区分，那么只好也做上主席台，做个光杆司令了。还有一点奇怪的就是，TAIL中为什么有空位置啊，比如位置7,8,9？这是历史原因造成的，因为一开始字符串“bachelor#”刚来的时候，其他的字符串还没来，公司规模较小，就一个团队，不需要那么多层领导，所以就S_b 作为唯一的一个团队的头坐主席台，其他的“achelor#”都坐观众席，所以“achelor#$”总共占了9个位置，后来“bcs#”来了，光是领导S_b 不足以区分这两个字符串团队“bachelor#”和“bcs#”(他们都是以b开头的啊)，所以“achelor#”中的字符“a”和“bcs#”的字符“c”都被提拔为领导岗位，对两个字符串团队以作区分，就形成了状态S_ba 和S_bc (从此“bachelor#”可以说我们是以ba开头的，而“bcs#”可以说我们是以bc开头的)，后来“back#” 来了，仅仅字符“ba”以及“bac”都不足以区分“bachelor#”和“back#”，所以，不但“bachelor#”中的字符“c”被提拔成领导岗位，形成状态S_bac ，字符“h”也被提拔，形成状态S_bach ，从而员工就剩下了“elor#”，被提拔了三位，所以位置7,8,9就空下来了，那为什么不让后面的字符跟上呢？一方面，在双数组主席台中，其他团队的下属的位置都已经标好了，这一跟上都要改，比较麻烦，另外一方面，TAIL很可能保存在硬盘文件中的，将文件中的内容移动，也是很低效的事情。

有了上述结构，对字符串进程查询就方便了，一般按照以下的流程进行：

//输入: String inputString=”a₁ a₂ …… a_n #”转换成为int[] inputCode

boolean doubleArrayTrieSearch(int[] inputCode) {

int r=1;

int h=0;

do {

int t = BASE[r] + inputCode[h];

if(CHECK[t] != r){

//在双数组中找不到相同前缀，说明不存在与这个集合

// a₁ a₂ …… a_h-1 都相同，a_h 不同

//座位t上坐的不是你的领导，在这棵树上这个字符串找不到组织

return false;

} else {

//前缀暂且相同，继续找下一层状态

// a₁ a₂ …… a_h 都相同，下个循环比较a_h+1

//说明你属于这个大团队，接着看是否属于某一个小团队

r = t;

}

h = h + 1;

} while(BASE[r]>0)

//到这一步双数组中的结构查询完毕，BASE[r]<0，应该从TAIL中查找了

If（h == inputCode.length - 1）{

//如果已经到了结束符#，说明这个字符串所有的字符都在双数组中，是个光杆司令

Return true;

}

Int[] tailCode = getTailCode(-BASE[r]);//从TAIL中拿出后缀

If(compare(tailCode, inputCode, h+1, inputCode.length -1) == 0){

//比较TAIL中的字符串和inputCode中剩下的”a_h+1 …… a_n #”是否相同，相同则存在

Return true;

} else {

Return false;

}

}

接下来，我们就来看看这种微妙的数据结构是如何构造的。其实构造过程说起来很简单，就是一开始整个双数组中只有根节点，然后随着字符串的不断插入而形成。要插入一个新的字符串，首先还是要调用上面的代码进行搜索一下的，如果能够搜索出来，则这个字符串原来就存在，则什么都不做，如果没有搜索出来，就需要进行插入操作。根据上面的搜索程序，搜索不出来分为两种情况，也就是上面的程序中返回False的地方

1) 第一种情况是在双数组中找不到相同的前缀。也即对于输入字符串a₁ a₂ … a_h-1 a_h a_h+1 … a_n #，在双数组中，a₁ a₂ … a_h-1 能找到对应的状态S a₁ a₂ … a_h-1 ，然而从a_h开始，找不到对应的状态S a₁ a₂ … a_h-1 a_h，所以需要将S a₁ a₂ … a_h-1 a_h作为S a₁ a₂ … a_h-1的下属加入到双数组中，然后将a_h+1 … a_n #作为S a₁ a₂ … a_h-1 a_h的员工放到TAIL中。然而加入的时候存在一个问题，就是原来S a₁ a₂ … a_h-1已经有了一些下属，并经过原来排位置，找到了合适的BASE值，通过它能够找到这些下属的座位。这个时候状态S a₁ a₂ … a_h-1 a_h来了，当它想要按照BASE[r] + a_h=t找到位置的时候，发现CHECK[t]不为0，也即位置让其他先来的人占去了。这个时候有两种选择，一种选择是改变自己的领导S a₁ a₂ … a_h-1的BASE值，使得连同S a₁ a₂ … a_h-1 a_h和其他的下属都能够找到空位子坐下，这就需要对自己的领导S a₁ a₂ … a_h-1的原有下属全部迁移。另一种选择就是既然CHECK[t]不为零，说明被别人占了，把这个占了作为的人迁走，我S a₁ a₂ … a_h-1 a_h还是坐在这里，要迁走位置t的人可不容易，要先看他的领导的面子，也即根据CHECK[t]=p找到他的领导的位置，迁移位置t的人，需要改变他的领导的BASE[p]，而BASE[p]的改变，必将导致他的领导的原有所有下属都要迁移，另找 位置。那么选择哪一种方式呢？要看哪种方式迁移的人数少，就采取哪种方式。

2) 第二种情况是在双数组中找出的前缀相同，但是从TAIL中取出的后缀和输入不同。也即对于输入字符串a₁ a₂ … a_h-1 a_h a_h+1 … a_n #，在双数组中，a₁ a₂ … a_h 能找到对应的状态S a₁ a₂ … a_h ，而a_h是基层领导，从TAIL中找出基层员工a_h+1 a_h+2… a_h+k b₁b₂……b_m和剩余的字符串a_h+1 a_h+2… a_h+k a_h+k+1 … a_n #进行比较，结果虽不相同，但是他们却有共同的前缀a_h+1 a_h+2… a_h+k，为了区分这是两个不同的字符串团队，他们的共同领导a_h+1 a_h+2… a_h+k是要放到双数组中作为中层领导的，而第一个能够区分两个字符串的字符a_h+k+2和b₁则作为基层领导放到双数组中，两者在TAIL中的基层员工分别是a_h+k+2 … a_n #和b₂……b_m

下面咱就详细来一步一步看上面那个双数组Trie是如何构造的。

步骤1 初始状态

如图，初始状态，创业伊始，仅有根节点总经理，BASE[1]=1，CHECK[1]=1，TAIL为空。

步骤2 加入bachelor#

加入第一个字符串团队bachelor#，第一个字符“b”作为基层领导进入双数组，成为总经理的下属，所以状态S_b的位置为BASE[1]+b = 1 + 2 = 3，CHECK[3]为0，可直接插入，设CHECK[3]=1，后缀achelor#进入TAIL，BASE[3] = -1，表面S_b为基层领导，员工在TAIL中的偏移量为1。如图。

步骤3 加入bcs#

加入bcs#，找到状态S_b，是基层领导，从TAIL中读出后缀进行比较，achelor#和cs#，两者没有共同前缀，所以将a和c放入双数组中作为基层领导区分两个字符串团队即可。新加入的两个状态S_ba和S_bc都是状态S_b的下属，所以先求BASE[3]=q，先假设q=1，1+a = 1+1=2，1+c=1+3=4，CHECK[2]和CHECK[4]都为0，可以用来放S_ba和S_bc，所以BASE[3]=1，CHECK[2]=3，CHECK[4]=3。两个后缀chelor#和s#放入TAIL，基层领导S_ba的BASE[2]=-1，指向TAIL中的后缀chelor#，BASE[4]=-10，指向TAIL中的后缀s#。如图所示。

步骤4 加入badge#

加入badge#，找到状态S_ba，是基层领导，从TAIL中读取后缀chelor#和dge#进行比较，两者没有共同前缀，于是将字符c和d放入双数组作为基层领导来区分两个字符串团队，形成状态S_bac和S_bad，都作为S_ba的下属，于是要计算S_ba的BASE[2]=q，假设q=1，1+c = 1+3 = 4，1+d = 1+4 = 5，由于CHECK[4]不为零，所以产生冲突，再次假设q=2，2+c = 5，2+d=6，检查CHECK[5]和CHECK[6]都为零，可以放S_bac和S_bad，所以BASE[2]=2，CHECK[5]=2，CHECK[6]=2。两个后缀helor#和ge#放入TAIL，基层领导S_bac的BASE[5]=-1，指向TAIL中的helor#后缀，基层领导S_bad的BASE[6]=-13，指向TAIL中ge#后缀。如图。

步骤5 加入baby#

加入baby#，找到状态S_ba，有两个下属是S_bac和S_bad，却没有S_bab，要将S_bab加入到双数组中。当前S_ba的BASE[2]=2，根据它来安排S_bab的位置，2+b=4，然而CHECK[4]不为零，有冲突，位置以及被占了。有两种选择，一种是改变S_ba的BASE[2]的值，造成S_bac，S_bad，S_bab都要移动，另一种是移动第4位的状态S_bc，先要找他的领导S_b，要移动S_bc，需要修改S_b的BASE[3]的值，如果被修改，则状态S_ba和S_bc需要移动。权衡两种选择，选择后者。原来BASE[3]=q=1，假设q=2，2+a=3，2+c=5，CHECK[3]不为零，有冲突，再假设q=3，也有冲突，直到假设q=6，6+a=7，6+c=9，CHECK[7]和CHECK[9]都不为零，可以用来放S_ba和S_bc，所以BASE[3]=6，S_ba从第2个位置移动到第7个位置，S_bc从第4个位置移动到第9个位置，CHECK[7]和CHECK[9]设为3。把别人赶走了，S_bab就放在了第4个位置，CHECK[4]=7。后缀y#进入TAIL，基层领导S_bab的BASE[4]=-17指向TAIL中的后缀y#。如图。

步骤6 加入back#

加入back#，找到状态S_bac，是一个基层领导，从TAIL中读取后缀helor#和k#进行比较，两者没有共同前缀，需要将h和k放到双数组中作为基层领导来区分两个字符串团队，成为状态S_bach和S_back，都是S_bac的下属，计算S_bac的BASE[5]=q，假设q=1,1+k=12,1+h=9，由于CHECK[9]不为零，冲突，再假设q=2，2+k=13，2+h=10，CHECK[10]和CHECK[13]都为零，可以用来存放状态S_bach和S_back，所以BASE[5]=2，CHECK[10]=5，CHECK[13]=5。后缀elor#和#进入TAIL，状态S_bach的BASE[10]=-1指向TAIL中的后缀elor#，状态S_back所谓BASE[13]=-20指向TAIL中的后缀#。如图。

步骤7 加入badger#

加入badger#，找到状态S_bad，是基层领导，从TAIL中读取后缀ge#和ger#进行比较，两者有相同的前缀ge，所以g和e需要放入双数组作为中层领导，形成状态S_badg和S_badge，另外#和r需要放入双数组作为基层领导，来区分两个不同的字符串团队，形成状态S_badge#和S_badger。

先放入状态S_badg，他的领导是S_bad，计算BASE[6]=q，假设q=1，1+g=8，由于CHECK[8]为零不冲突，所以第8个位置可以用来放状态S_badg，BASE[6]=1，CHECK[8]=6。

然后放状态S_badge，他的领导是S_badg，计算BASE[8]=q，假设q=1，1+e=6，由于CHECK[6]不为零，冲突，再假设q=2还是冲突，直到假设q=6，6+e=11，由于CHECK[11]为零，所以不冲突，所以第11个位置可以用来放状态S_badge，于是BASE[8]=6，CHECK[11]=8。

最后放状态S_badge#和S_badger，他们的领导是S_badge，计算BASE[11]=q，假设q=1，1+r=19，1+#=20，由于CHECK[19]和CHECK[20]都为零，不冲突，所以第19个位置和第20个位置可以用来放状态S_badger和S_badge#，于是BASE[11]=1，CHECK[19]=11，CHECK[20]=11。

后缀#和空后缀进入TAIL，基层领导S_badger的BASE[19]=-22，指向TAIL中的后缀#，基层领导S_badge#的BASE[20]=-13，指向TAIL中的空后缀。

步骤8 加入badness#

加入badness#，找到状态S_bad，不是基层领导，有下属S_badg，所以要将状态S_badn加入双数组以加入一个新的字符串团队，后缀ess#入TAIL中。

要放置S_badn，需要看他的领导Sbad的BASE[6]=1，1+n=15，CHECK[15]为零，不冲突，正好第15个位置空着，可以放置状态S_badn。如图。

好了至此为止，大家应该明白如何创建双数组Trie树了吧，在这里还是提醒大家，相似的原理也在Lucene中得到了应用，我们姑且称之有限状态机规则。

双数组Trie树是个优秀的数据结构，但是整个结构需要保存在内存中，如果写入硬盘，则希望不要改变，不然对于冲突的移动不但复杂，而且耗费性能。

6. M路查找树

如果词典非常的大，内存放不下， 就需要保存在硬盘上了，一旦涉及到硬盘，性能便是一个让人头疼的事情，如果还需要这种数据结构能够进行插入和删除，事情将变得更加糟糕。

那么什么样的数据结构，不要设计的那么复杂，以至于要做改变的时候牵一发而动全身，而查询效率还不错的呢？出了O(1)之外，退而求其次的便是O(logN)，说到这里，很多人就会马上想到，二叉树，如图。

二叉树确实不错，插入一个节点或者删除一个节点，影响到的只有本节点和父节点，不会影响整棵树的结构，而且查询速度也不错，O(logN)。如果怕因为树不平衡从而影响性能，可以使用平衡二叉树，如AVL或者红黑树。

但是如果我们仔细计算一下，单就二叉树还是有问题的，因为所有的节点都保存在硬盘上，如果我们有100万的数据，那么每次查询需要进行log₂N 约为20次磁盘访问，次数还是太多了。这是因为对于二叉树，每个节点保存一个元素，度仅仅为2。如果要提高性能，则需要减少磁盘的访问次数，一个方法就是每个节点多放几个元素，增加度，减少树的高度，所以就有了m路查找树。

M路查找树或者是空树，或者满足下面的性质：

• 每个节点最多有m棵子树，节点的结构为<n, A₀, E₁, A₁, E₂, A₂, …… , E_n, A_n>，其中A_i是指向子树的指针，E_i是数据元素，每个数据元素都有一个关键字Key，当然还有其他的信息Data。
• E_i.Key < E_i+1.Key
• A_i指向的子树的关键字大于E_i.Key，小于E_i+1.Key
• 所有的子树A_i都是m路查找树

比如如图，就是一个三路查找树。

概念不难理解，首先要考虑的问题是m取多大，m太小的话，一次查询需要多次读取硬盘，如果m太大，一个节点的读取就需要很长时间，而且内存也有限，所以m的选取应该是的一个节点的大小是缓存单位或者磁盘块的大小，这也是为什么在向树中插入元素的算法中，超过m就一定要进行节点分裂。其次的问题是如何进行查找，比如要找关键字为x的元素，自然是从最顶层节点开始如果在元素中找到E_i.Key==x，则成功，如果元素中没有，则寻找E_i.Key < x < E_i+1.Key，然后根据指针A_i读取子节点查找。最后就是树的平衡性问题，m路搜索树没有规定每个节点中元素的数目，所以有的节点可能是满的，有的可能是空的，如果出现最不好的情况，每个节点都只有一个元素，那么又变成二叉树了，不平衡降低了查询效率，所以需要一些多路平衡树，下面介绍的B树和B+树就是。

M阶的B树是一个m路查找树，它或者是一个空树，或者满足如下的性质：

• 根至少有两个孩子
• 除了根节点之外，所有的节点至少个孩子
• 所有的外部节点位于同一层

如图，就是一个4阶B树

这里需要讨论几个事情，首先为什么要保证每个节点至少个孩子呢？这就是上面我们讨论过的平衡性，为了提高性能，我们可不想花了半天时间从磁盘上读取出一个节点，结果只有少量的元素，我还要费劲去读别的节点，所以这些元素你们怎么就不能紧凑点放在一起呢？这就是为什么在从树中删除元素的算法中，当每个节点的孩子小于就进行节点合并。其次，为什么根可以只有两个孩子呢？这是因为一般情况下，根节点中保存的元素是有限的，内存中基本放的下，根节点很多情况下是保存在内存里面的。再者，有关外部节点，对于B树来讲，是没有外部节点的，因为所有的元素都是放在树形结构的内部节点中的，在实践中，指向外部节点的指针一般设为NULL，如果遇到外部节点，就说明查找失败，之所以强调外部节点是和B+树相区别。

对于向B树里面插入一个元素，一般需要先沿着树找元素应该在的位置，如果树的高度为h，则这个过程可能需要读取h次磁盘，然后找到位置后，如果m比较大，一般情况下，直接写入相应的节点就可以了，于是进行了1次写节点操作，总共需要h+1次磁盘操作，而且仅仅影响一个节点，和我们的期望是很接近的。然而如果碰到某个节点满了，则需要进行节点的分裂，否则一个节点过大，超过一个磁盘块或者缓存单位的话，找另一个磁盘块需要硬盘磁头重新定位，而且缓存需要刷新，从而影响性能。

如图，展示了一个3路B树的普通的分裂过程：

对于一般的分裂，受到影响的就是本节点和父节点，本节点一个变两个，两个都要写到硬盘中，父节点要加一项。比如图中插入30，首先经过查询，应该插入到b节点，插入后b节点就成了三个元素，四棵子树了，需要分裂，中间的元素20插入到父节点，左侧的元素10和右侧的元素30分别写入单独的节点中，共需要3次磁盘写入，再加上定位阶段的h次磁盘读取，共h+3次磁盘操作。

当然在有的分裂过程中，父节点因为子节点分裂而加入元素后，也需要分裂，更有甚者一直分裂到根节点。比如图中插入60，经过查询，应该插入到c节点，可是插入后就溢出了，需要分裂，中间的元素70插入到父节点，60和80分别写入两个节点，可是父节点插入70后也溢出了，于是还需要分裂，中间的元素40插入新的根节点，20和70分别写入两个节点。在整个过程中，定位需要读取h个节点，除了最顶层，每一层一个节点分裂成两个节点需要2(h-1)次写入，最顶层除了分裂，还需要写入新的根节点，需要3次写入，所以总共需要h+2(h-1)+3次磁盘操作，也即3h+1次。

在m较大的情况下，分裂的情况还是概率相对较小的，尤其是连锁反应的分裂，所以可以证明，插入操作磁盘访问的平均次数约为h+1，至于如何证明，很多数据结构的书上都有。

对于从B树中删除一个元素，同样需要通过查询来定位这个元素，如果元素在叶子节点上，则可以直接删除，如果元素不在叶子节点上，如图中删除节点70，则需要在节点70右面的指针指向的子树的最小值71来替换70，然后考虑删除叶子节点中的元素71即可。

当m比较大的时候，一般情况下，将节点中的元素删除后，再将节点写入就可以了，如果删除的元素本来就在叶子节点，则需要磁盘访问h+1次，如果要删除的元素不在叶子节点，则需要磁盘访问h+2次。如果删除完元素后，节点中的元素数目小于(也即指针的数目小于)，那就需要调整了，因为每个节点的元素数目过少将会意味着读取磁盘的次数增加。

如图，展示了B树的删除过程：

调整的方法一，就是向兄弟节点借。比如要删除元素60，发现节点的元素已经小于1，发现节点e是满的，借一个元素，于是父节点中70进入节点c，节点e中80进入节点f。在这个过程中，定位要删除的元素读取磁盘次数h，读取被借的节点次数1，借元素的节点和被借元素的节点，以及父节点都需要写入磁盘，次数3，共h+4次磁盘操作。

调整的方法二，就是兄弟合并。比如要删除元素70，发现节点e里面也只有1个，没有可借的，于是合并，节点c，节点e，以及父节点中的分割元素80三方合并，成为节点c中有80, 90。结果更不幸的事情发生了，因为合并，分割元素80需要从父节点中需要删除，然而删除80导致父节点也元素不足，需要向兄弟借，结果兄弟节点a也没钱，又要合并了，于是节点a，节点f和父节点中的分割元素40合并，成为节点a中有20,40，删除父节点中的分割元素，父节点是根节点，没有元素剩余了，删除此节点。在一次合并过程中，定位需要读取磁盘h次，读取兄弟节点1次，写合并后的节点1次，最后还要写父节点1次，共h+3次磁盘操作。

从上面可以看出，借比合并需要的磁盘操作次数多，但是借不能连锁反应，而合并可以连锁反应，于是最差的一种情况是，h层，下面h-2层都连锁反应的进行合并，到了最上面的两层根节点和其子节点，变成借。定位需要读取h次，对于除了根节点和根节点的子节点之外其他h-2个层次的合并，都需要读取1次兄弟节点，然后将合并结果写入1次 (需要写父节点的那1次，因为父节点也需要参与他那个层次的合并而不进行磁盘写入) ，共2 (h-2)次磁盘访问，直到根节点的子节点的删除，需要读取兄弟节点1次，借完元素后写兄弟节点1次，写本节点一次，写父节点1次，共4次，所以总共h + 2(h-2) +4 = 3h次磁盘访问。

从上面对B树读写磁盘的分析我们可以看出，B树从原理上来讲，磁盘操作的次数是大约等于树的高度的，然而当为了保持树的平衡性进行分裂，合并的时候，磁盘操作的次数会成倍的增加，这不是我们期望的。而减少分裂，合并出现的概率的方法，就是m取得比较大的值。

然而前面也分析过，m的取值的大小要是的一个节点的大小约为一个磁盘块或者缓存单元。对一个系统来讲，磁盘块和缓存单元的大小是固定的，要增大m，需要减少每个元素的大小。可是元素的大小也不可能减少啊？从上面的分析中，我们可以看出，我们所有的操作都是针对元素的Key来的，与元素其他的信息无关，而Key的大小一般是不会占据整个元素的主要空间的，既然如此，我们为什么在分裂，合并的操作中，读写整个元素呢？比如我们将外部节点利用起来，存放真正的元素，在内部节点的整棵树上，仅仅保存元素的Key，一方面，对于同样大小的节点，仅仅保存key可是使得m更大，另一方面，对于树的各种调整，都是读写Key，读写的数据量大大减少。这就是我们接下来要介绍的B+树。

一棵m阶B+树具有如下的性质：

• 节点分索引节点和数据节点。索引节点相当于B树的内部节点，所有的索引节点组成一棵B树，具有B树的所有的特性。在索引节点中，存放着Key和指针，并不存放具体的元素。数据节点相当与B树的外部节点，B树的外部节点为空，在B+树中被利用了起来，用于存放真正的数据元素，里面包含了Key和元素的其他信息，但是没有指针。
• 整棵索引节点组成的B树仅仅用来查找具有某个Key的数据元素位于哪个外部节点。在索引节点中找到了Key，事情没有结束，要继续找到数据节点，然后将数据节点中的元素读出来，或者二分查找，或者顺序扫描来寻找真正的数据元素。
• M这个阶数仅仅用来控制索引节点部分的度，至于每个数据节点包含多少元素，与m无关。
• 另外有一个链表，将所有的数据节点串起来，可以顺序访问。

如图，所示：

从图中我们可以看出，这是一个3阶B+树，而一个外部数据节点最多包含5项。如果插入的数据在数据节点，如果不引起分裂和合并，则索引节点组成的B树就不会变。

如果在71到75的外部节点插入一项76，则引起分裂，71,72,73成为一个数据节点，74,75,76成为一个数据节点，而对于索引节点来讲相当于插入一个Key为74的过程。

如果在41到43的外部节点中删除43，则引起合并，41,42,61,62,63合并成一个节点，对于索引节点来讲，相当于删除Key为60的过程。