codevs 1228 苹果树 树链剖分讲解

题目：codevs 1228 苹果树

链接：http://codevs.cn/problem/1228/

看了这么多树链剖分的解释，几个小时后总算把树链剖分弄懂了。

树链剖分的功能：快速修改，查询树上的路径。

比如一颗树

首先，我们要把树剖分成树链。定义：

fa[x]是x节点的上一层节点（就是他的爸爸）。

deep[x]是x节点的深度。

num[x]是x节点下面的子节点的数量（包括自己）

son[x]重儿子：一个节点的儿子的num[x]值最大的节点。其他的儿子都是轻儿子。

重链：重儿子连接在一起的路径，比如上图粗线就是重链（叶节点也是重链，只不过它只有一个点）。

　　   重链之间是用一条轻链边连接的。

top[x]是每条重链的根节点，即是上图中的红色点。

tree[x]是数上节点在线段树上的编号

ftree[x]是线段树上节点在原来树的节点号

现在把它放到线段树里，从根节点开始编号为1，沿着重链走，每走到一个节点给它编号（可以用一个topa变量记录下一个编号），重链走完了走轻链。如图所示就给每条边都编上号了。如果边的长度没有，当然也可以把节点放在线段树上。图总的蓝色数字就是这条边在线段树里的位置，形成了区间，如下图。

然后把这个数组组成最终的线段树，就可以控制它的区间了。

可以发现，虽然看上去把树剖分放到线段树上好像打乱了树的顺序，线段树中的点仍然有原来树的影子。比如如果我要访问x节点的子树，那么这个节点的子树的区间就是从tree[x]到tree[x]+num[x]-1（-1是减掉自己这个节点）的区间。

我们可以用2个dfs来把剖分的动作实现。

第一个dfs先实现fa[x]，deep[x],num[x]的计算，num要在访问完子树之后计算，见代码：

 void dfs1(int x)
 {
     num[x]++;
     for(int i=;i<map[x].size();i++)
     {
         int dd=map[x][i];
         if(dd!=fa[x])
         {
             fa[dd]=x;
             deep[dd]=deep[x]+;
             dfs1(dd);
             num[x]+=num[dd];
         }
     }
 }

注释：map是STL的vector，用来储存边。

第二个dfs完成son[x],tree[x],ftree[x]的计算，代码如下：

 void dfs2(int x)
 {
     topa++;
     ftree[topa]=x;
     A[topa]++;
     tree[x]=topa;
     int zi=,mx=;
     for(int i=;i<map[x].size();i++)
     {
         int dd=map[x][i];
         if(num[dd]>mx)
         {
             mx=num[dd];
             zi=dd;
         }
     }
     if(zi!=) dfs2(zi); else return;
     son[x]=zi;
     for(int i=;i<map[x].size();i++)
     {
         int dd=map[x][i];
         if(dd!=zi) dfs2(dd);
     }
 }

剖分动作结束，接下来是线段树的事情了。

这里再说一下如何在线段树上操作原树，之前提到过，其实在线段树上也有原来树的结构。

x的子树区间就是tree[x]到tree[x]+num[x]-1。

下面来看一下这道题：codevs 1228 苹果树

这是一个最基本的树链剖分。题目中要求计算一颗子树上有苹果多少颗，改变是点修改。因此只要找到那个节点，子树在线段树上的位置，线段树是维护某区间的苹果树数量，查询操作就是一般的线段树查询。

代码：

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 const int maxn=;

 vector<int> map[maxn];
 int fa[maxn],n,deep[maxn],num[maxn],topa,A[maxn],tree[maxn],ftree[maxn],son[maxn],sumv[maxn*],k;

 void dfs1(int x)
 {
     num[x]++;
     for(int i=;i<map[x].size();i++)
     {
         int dd=map[x][i];
         if(dd!=fa[x])
         {
             fa[dd]=x;
             deep[dd]=deep[x]+;
             dfs1(dd);
             num[x]+=num[dd];
         }
     }
 }

 void dfs2(int x)
 {
     topa++;
     ftree[topa]=x;
     A[topa]++;
     tree[x]=topa;
     int zi=,mx=;
     for(int i=;i<map[x].size();i++)
     {
         int dd=map[x][i];
         if(num[dd]>mx)
         {
             mx=num[dd];
             zi=dd;
         }
     }
     if(zi!=) dfs2(zi); else return;
     son[x]=zi;
     for(int i=;i<map[x].size();i++)
     {
         int dd=map[x][i];
         if(dd!=zi) dfs2(dd);
     }
 }

 void init(int o,int L,int R)
 {
     if(L==R) sumv[o]=A[L];
     else
     {
         int M=(L+R)/;
         init(o*,L,M);
         init(o*+,M+,R);
         sumv[o]=sumv[o*]+sumv[o*+];
     }
 }

 int y1,y2,p;
 void update(int o,int L,int R)
 {
     if(L==R) sumv[o]=(sumv[o]+)%;
     else
     {
         int M=(L+R)/;
         if(p<=M) update(o*,L,M);
         else update(o*+,M+,R);
         sumv[o]=sumv[o*]+sumv[o*+];
     }
 }

 int ans;
 void query(int o,int L,int R)
 {
     if(y1<=L && R<=y2) ans+=sumv[o];
     else
     {
         int M=(L+R)/;
         if(y1<=M) query(o*,L,M);
         if(y2>M) query(o*+,M+,R);
     }
 }

 int main()
 {
     cin>>n;
     for(int i=,x,y;i<=n-;i++)
     {
         cin>>x>>y;
         map[x].push_back(y);
     }
     deep[]=;
     dfs1();
     dfs2();

     init(,,n);

     cin>>k;
     for(int i=,x;i<=k;i++)
     {
         char tp;
         cin>>tp;
         if(tp=='C')
         {
             cin>>x;
             p=tree[x];
             update(,,n);
         }
         else
         {
             cin>>x;
             y1=tree[x];
             y2=y1+num[x]-;
             ans=;
             query(,,n);
             cout<<ans<<endl;
         }
     }
     return ;
 }