Wannafly 挑战赛 19 参考题解

这一次的 Wannafly 挑战赛题目是我出的，除了第一题，剩余的题目好像对大部分算法竞赛者来说好像都不是特别友好，但是个人感觉题目质量还是过得去的，下面是题目链接以及题解。

【题目链接】

Wannafly 挑战赛 19 参考题解

命题：周甄陶

Problem A. 队列 Q

将操作离线倒序处理，可以线性效率解决这个问题。看代码很快就能懂了，不再赘述。

时间复杂度：$O(N + Q)$

Problem B. 矩阵

首先看一个问题：有一个长度为 $N$ 的序列 $A$，对于每一个位置 $i$，计算以 $i$ 位置为结尾的最大子串和，且子串的左端点位置必须大于等于 $L_i$。数据保证 $L_i$ 是非递减的。

设 $S_i$ 为 $A$ 的前缀和，则以位置 $i$ 为结尾的子串和为 $S_i - S_j$，在区间 $[L_i - 1, i]$ 内枚举位置 $j$ 找到 $S_j$ 的最小值就可以计算出以 $i$ 为结尾的最大子串和。这个问题利用单调队列是可以 $O(N)$ 解决的。

上述问题解决后，再来看这题：
可以枚举答案矩阵的上下边界，处理成一维的，题目中的第二个约束和第三个约束可以处理出 $L_i$， 之后的问题就变成了上述那个问题了。

时间复杂度：$O(R*C*C)$

Problem C. 多彩的树
一棵 $P$ 个节点的树中，路径数总共有 $P + { C }_{ P }^{ 2 }$ 条。

将颜色进行状压，$T_i$ 表示颜色集合小于等于 $i$ 的路径数量，计算 $T_i$ 只要保留颜色是状态 $i$ 中的节点，求连通块后，每个连通子树计算方案数累加即可。

得到 $T_i$ 之后，可以通过减去子集的路径数量，得到颜色集合恰好为 $i$ 的路径数量。

时间复杂度：$O(2^K*N)$

Problem D. 回文

先考虑答案的来源：肯定是以某个位置为回文中心，留下最长回文半径，然后单边保留一些或不保留字符，然后砍掉多余部分，最后在另一侧补全，使得字符串成为回文串。

上述思路可以用 manacher 以及记录一些值的前缀后缀的最小值来实现。

时间复杂度：$O(|S|)$

Problem E. 集合

这题代码量有一点大，容易写错，思路本身并不难。

$cost_{i,j}$ 表示 $A$ 集合的第 $i$ 个元素和 $B$ 集合的第 $j$ 个元素，通过修改操作变换成相同的元素，需要的花费为 $cost_{i,j}$，若无法通过修改操作变成相同的元素，则 $cost_{i,j}$ 为 inf。$cost_{i,j}$ 可以通过广度优先搜索来得到。

接下来就是一个二分图最小费用匹配问题，可以用最小费用最大流来解决。

源点向 $A$ 集合的每一个元素 $i$ 建边，流量为 $1$，费用为 $0$。
$B$ 集合的每一个元素 $j$ 向汇点建边，流量为 $1$，费用为 $0$。
$A$ 集合的每一个元素 $i$ 向 $B$ 集合的每一个元素 $j$ 建边，流量为 $1$。如果 $cost_{i,j}$ 为 inf，则费用为 $da_i + db_j$，表示这两个元素配对的方式只能是两者都删除；如果 $cost_{i,j}$ 不为 inf，那么费用为 $\min(da_i + db_j, cost_{i,j} * \min(ma_i, mb_j))$，表示这两个元素配对可以选择变换也可以选择直接删除，选择少的那一种费用。

此外，在元素个数较少的那一侧，还需要新增一个节点 $P$，用来删除另一侧多余元素。如果是 $A$ 集合的元素比 $B$ 集合的元素少，那么源点和 $P$ 之间建边，流量为 $|B-A|$，费用为 $0$；$P$ 和 $B$ 集合中的每一个元素 $j$ 建边，流量为 $1$，费用为 $db_j$。

上述图，从源点到汇点跑最小费用最大流，跑出来的费用即为答案。

时间复杂度：$O(N * { C }_{ 16 }^{ 8 } * 16^2 + F*V*E)$，其中前半部分为 bfs 计算 $cost$ 的复杂度，后半部分为最小费用最大流的复杂度。

Problem F. K 串

$S_{i,j}$ 表示前缀 $[1,i]$ 中，第 $j$ 种字母的数量对 $K$ 取模的结果。每个位置的 $S_i$ 都可以看作是一个 $26$ 元组，每次询问就相当于询问区间 $[L, R]$ 中有多少对相同的 $26$ 元组。

可以将 $26$ 元组进行 hash 成一个数字或者可以将 $26$ 元组插入字典树进行操作。之后就是《小 Z 的袜子》了，利用莫队算法即可。

hash 做法的时间复杂度：$O(N\sqrt { N } \log { N } )$

字典树做法的时间复杂度：$O(N\sqrt { N } * 26)$

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写在入职前：

毕业 20 来天了，我这个蒟蒻呢，明天就要入职微软苏州了。这场比赛以及三月份的校赛命题是我离开学校、上班之前对大学 ACM 算法竞赛生涯的两次总结，对于命题，我完全把它当做是一种创作而非任务，我想创作出很优秀、很耐人寻味的试题，犹如 Vae 能写出很优美的旋律、很有思想的歌词一般。

这些年挺开心的，虽然从结果来看并没有做到很棒，但是我真的很享受这四年时光，我庆幸能够认识很多很多好朋友，无论是学习上、生活上，还是思想上、音乐上能聊得来的朋友们，我都很感谢很感谢。

对现在的状态呢，我也不是很完全满意，我还要继续努力。

恍若隔世的四年啊，真的犹如做了一场梦，我希望一直活在这场梦里，希望这场梦能越来越好。

最后，谢谢各位的参赛，祝所有朋友们前程似锦，心想事成！