题意

求 $f(n,a,b)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)$,$1 \le n,a,b \le 10^9$,共有 $T$ 组测试,其中只有10组的 $n$ 大于 $10^6$.

分析

首先,当 $i, j$互质,$a, b$互质时,有 $gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j$(证明见 链接),也可以打表猜一猜嘛。

可以推出:$$\sum_{d=1}^{N}\mu(d)\cdot d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{i}(i-j)$$

单独考虑后半部分,$\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{i}(i-j)=\frac{k^3-k}{6}$.

然后,只剩下左边的 $\mu(d)\cdot d$,

将其与恒等函数 $Id(n) = n$ 狄利克雷卷积后得

$$\begin{align*}
(\mu(d)\cdot d)*Id(d)
& =  \sum_{d|n}(\mu(d)\cdot d)\cdot Id(\frac{n}{d})\\
& = \sum_{d|n}\mu(d) =  [n=1]
\end{align*}$$

接下来套杜教筛得公式

$$\begin{align*}
S(n)
& = \sum\limits_{i=1}^n [i=1]-\sum\limits_{i=2}^ni\cdot S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\\
& = 1-\sum\limits_{i=2}^ni\cdot S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)
\end{align*}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const int maxn = 6e6 + ;
const ll mod = 1e9+;
const ll inv6 = ;
int sum[maxn], mu[maxn], pri[maxn], pn;
bool vis[maxn];
map<int, int>mp_sum;
int n, a, b; ll s2(ll i, ll j)
{
return (i+j) * (j-i+) / % mod;
} ll s3(ll k)
{
return (k*k%mod - ) * k % mod * inv6 % mod;
} ll S(ll x)
{
if(x < maxn) return sum[x];
if(mp_sum[x]) return mp_sum[x];
ll ret = 1LL;
for(int i = , j;i <= x;i = j+)
{
j = x / (x / i);
ret = (ret - s2(i, j) * (S(x/i))%mod) % mod;
}
return mp_sum[x] = (ret + mod) % mod;
} void pre()
{
mu[] = ;
for(int i = ;i < maxn;i++)
{
if(!vis[i])
{
pri[++pn] = i;
mu[i] = -;
}
for(int j = ;j <= pn && i * pri[j] < maxn; j++)
{
vis[i * pri[j]] = true;
if(i % pri[j]) mu[i * pri[j]] = -mu[i];
else
{
mu[i * pri[j]] = ;
break;
}
}
}
for(int i = ;i < maxn;i++) sum[i] = (sum[i-] + i * mu[i]) % mod;
} int main()
{
pre(); int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
ll ans = ;
for(ll l = ,r; l <= n;l = r+)
{
r = n / (n / l);
ans = (ans + (S(r) - S(l-)) * s3(n/l)) % mod;
}
printf("%lld\n", (ans+mod)%mod);
}
return ;
}

最开始开的 MAXN=2e6,会TLE;原博客开的6e6,又MLE,将long long 数组改成 int 才行。

其实标答是推成 $\displaystyle ans = \frac{\sum _{i=1}^n i\varphi (i) - 1}{2}$,少了一次整除分块。

但是,通过这种解法,让我深刻认识了杜教筛的时空矛盾该怎么平衡。

参考链接:https://segmentfault.com/a/119000002017183

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