【UOJ#33】【UR #2】树上GCD（长链剖分，分块）

【UOJ#33】【UR #2】树上GCD（长链剖分，分块）

题面

UOJ

题解

首先不求恰好，改为求\(i\)的倍数的个数，最后容斥一下就可以解决了。

那么我们考虑枚举一个\(LCA\)位置，在其两棵不同的子树中选择两个点，那么贡献就是这两段的\(gcd\)。

那么发现要统计的东西类似于\(u\)的子树中，深度为\(d\)的点的个数，这个可以很容易的用长链剖分来维护，那么维护出这个数组之后就可以\(O(\log {dep})\)的对于贡献进行计算。然而这个复杂度是假的，因为你每次都需要一次\(O(\log dep)\)，这个\(dep\)不能是长链的\(dep\)，而这里却是长链长度，所以这样子复杂度不正确，

那么考虑别的方法，那就分块。

对于\(dis\ge \sqrt n\)的情况，因为其倍数的个数只有\(\sqrt n\)个，所以直接暴力统计，这部分全局的总复杂度是\(O(n\sqrt n)\)。

对于\(dis\lt \sqrt n\)，维护\(g[i][j]\)表示当前重链的所有子树中，深度模\(i\)为\(j\)的点的个数，这个东西可以在因为\(dis\lt \sqrt n\)，所以每次\(O(\sqrt n)\)的加入就行了，这样子全局复杂度也是\(O(n\sqrt n)\)。

这样子复杂度就做到了\(O(n\sqrt n)\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 200200
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next;}e[MAX];int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int n,hson[MAX],md[MAX],dep[MAX];
void dfs1(int u,int ff)
{
	md[u]=dep[u]=dep[ff]+1;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff)continue;
		dfs1(v,u);
		if(md[v]>md[hson[u]])hson[u]=v;
	}
	if(hson[u])md[u]=md[hson[u]];
}
int tmp[MAX<<2],*f[MAX],*id=tmp,t[MAX],g[355][355],BLK=350;
ll ans[MAX],pre[MAX];
void dfs(int u,int ff,int fl)
{
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff||v==hson[u])continue;
		f[v]=id;id+=md[v]-dep[v]+1;dfs(v,u,0);
	}
	if(hson[u])f[hson[u]]=f[u]+1,dfs(hson[u],u,1);
	f[u][0]=1;int mx=md[u]-dep[u];
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff||v==hson[u])continue;
		int s=md[v]-dep[v]+1;
		for(int j=1;j<=s;++j)t[j]=f[v][j-1];
		for(int j=1;j<=s;++j)
			for(int k=j+j;k<=s;k+=j)
				t[j]+=t[k];
		for(int j=1;j<=s;++j)
			if(j>BLK)for(int k=j;k<=mx;k+=j)ans[j]+=1ll*f[u][k]*t[j];
			else ans[j]+=1ll*g[j][dep[u]%j]*t[j];
		for(int j=0;j<s;++j)f[u][j+1]+=f[v][j];
		for(int j=dep[v];j<=md[v];++j)
			for(int k=1;k<=BLK;++k)
				g[k][j%k]+=f[v][j-dep[v]];
	}
	for(int i=1;i<=BLK;++i)++g[i][dep[u]%i];
	if(!fl)
		for(int k=1;k<=BLK;++k)
			for(int j=dep[u];j<=md[u];++j)
				g[k][j%k]=0;
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=2,x;i<=n;++i)x=read(),Add(x,i);
	dfs1(1,0);f[1]=id;id+=md[1]+1;dfs(1,0,0);
	for(int i=n;i;--i)
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
			ans[i]-=ans[j];
	for(int i=2;i<=n;++i)pre[dep[i]-1]+=1;
	for(int i=n;i;--i)pre[i]+=pre[i+1];
	for(int i=1;i<n;++i)printf("%lld\n",ans[i]+pre[i]);
	return 0;
}