Opentrains 1519 G——最小圆覆盖

题目

给出 $n$ 个定义在区间 $[0, 1]$ 上的一次函数 $f_i(x) = a_ix+b_i$，定义两个函数的距离为：

$$dist(f,g) = \left(\max_{0\leq i\leq T} (f(i)-g(i))\right)^2 + \left(\min_{0\leq i\leq T}(f(i)-g(i))\right)^2$$

你现在要找一个一次函数 $g(x) = cx+d$，使得下面的值最小：

$$\max_{1\leq i\leq n} dist(f_i, g)$$

你只需要输出最小值就可以了。($1\leq n \leq 200000$)

分析

一次函数减一次函数仍是一次函数，所以最值在端点取得。（画图也能发现）

即 $dust(f, g) = \left(f(0)-g(0) \right)^2 + \left(f(T) - g(T) \right)^2$

这是很熟悉的点到点的距离公式，如果我们把 $\left(f(0), f(T) \right)$，共有 $n$ 个点，$dist(f_i, g)$ 即为 $\left(g(0), g(T) \right)$ 到第 $i$ 个点的距离。

要求的就是到 $n$ 个点的最大距离的最小值，转化为求最小圆覆盖中的圆的半径。

参考链接： https://yang2002.github.io/2019/04/21/最小圆覆盖学习笔记/