CSP2019题解

CSP2019题解

格雷码

按照生成的规则模拟一下即可。

代码

括号树

看到括号匹配首先想到用栈，然后又在树上就可以想到可追溯化栈。
令\(a_i=1\)表示\(i\)号节点上的括号为(，否则为)，
记栈为\(stk\)，其中元素个数为\(top\)。
设\(f_i\)表示加上节点\(i\)所对应的括号所增加的贡献，\(g_i\)表示这个点的答案，转移很显然：
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
f_i=0&(a_{fa_i}=1)\\
f_i=f_{fa_i}&(a_{fa_i}=-1)\\
f_i=0&(a_i=-1,top=0)\\
f_i=f_{stk_{top}}+1&(a_i=-1,top>0)\\
g_i=g_{fa_i}&(a_i=1)\\
g_i=g_{fa_i}+f_i&(a_i=-1)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
然后就没了。

代码

树上的数

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Emiya 家今天的饭

因为主要食材最大值只会有一个，钦定最大值是哪一个，又因为每一种烹饪手法最多选一次，设\(f[i][j][k]\)表示目前在第\(i\)中烹饪手法，现在做了\(j\)道菜，最多的食材用了\(k\)次，转移很显然就不写了，那么最后你把不满足要求的减掉就行了，这样子是\(O(n^3m)\)的。

考虑优化这个状态，设\(f[i][j]\)为目前在第\(i\)中烹饪手法最大值与其他的的差为\(j\)的方案数，和前面一样容斥就优化成了\(O(n^2m)\)的了。

代码

划分

有一个比较显然但是并不会证的结论就是令最后一段的和最小。

记数列前缀和为\(s_i\)，
设\(f_i\)表示\([1...i]\)最后一段最小时，最后一段为\([f_i,i]\)，那么有转移

\[
f_i=\max j,\{0\leq j\leq i-1,s_j-s_{f_j}\leq s_i-s_j\}
\]

然后因为\(s\)单调，把这个式子化一下就是\(2s_j-s_{f_j}\leq s_i\)，注意到一个单调队列优化\(dp\)的形式所以直接用单调队列优化dp即可。

因为要高精度，所以只能用\(f\)数组往前推求答案。

代码

树的重心

注意一棵树的重心肯定是在其根节点所在重链上的，那么你每次断边时找到最深的满足条件的点\(x\)，因为如果重心有两个的话肯定是父子关系，所以再判断一下\(fa_x\)是不是满足条件即可，这样子的话复杂度\(O(n^2)\)。

考虑优化这个东西，在重链上构造一个倍增数组跳重链，然后每次像普通倍增一样即可，然后需要换根，复杂度\(O(n\log n)\)，细节见代码。

代码