manim边做边学--参数化曲线

在数学可视化领域，参数方程提供了一种灵活描述曲线的方式。

Manim库中的ParametricFunction类正是为此而生，它允许用户通过参数方程创建各种复杂的二维和三维曲线。

ParametricFunction的核心作用是将数学参数方程转换为可视化的曲线。与普通函数不同，参数方程使用独立参数t表示曲线上点的坐标：

x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)

其典型应用场景包括：

• 绘制无法用$ y=f(x) $显式表示的曲线（如圆、椭圆）
• 创建随时间变化的动态轨迹
• 可视化三维空间曲线（如螺旋线）
• 实现复杂的几何图案（如心形线、星形线）

本文将详细介绍ParametricFunction的作用、主要参数和方法，并通过动画示例来展示其强大的功能。

1. 主要参数

ParametricFunction主要参数有：

参数	类型	说明	默认值
function	Callable	参数方程函数，接收t返回[x,y,z]	必填
t_range	Sequence[float]	参数范围[start, end, step]	[0,1,0.1]
dt	float	计算导数的微小增量	0.01
use_smoothing	bool	是否使用平滑算法	True
discontinuities	list[float]	函数不连续点列表	None
color	颜色常量	曲线颜色	WHITE
stroke_width	float	线宽	2.0

其中function参数是一个可调用的函数，形式为(lambda t: (x(t), y(t), z(t)))。

它定义了曲线的参数化形式，t是参数，x(t)、y(t)和z(t)分别是x、y和z坐标随参数t的变化函数。

2. 主要方法

ParametricFunction主要方法包括：

名称	说明
get_point_from_function	获取参数t对应的曲线点坐标
get_function	返回参数方程函数
get_t_range	返回参数范围

3. 使用示例

下面通过几个典型的例子来演示如何使用ParametricFunction类。

3.1. 三维螺旋线

这个示例通过引入z轴参数，我们创建了一个优美的三维螺旋结构，展示ParametricFunction处理3D曲线的能力。

self.set_camera_orientation(phi=80 * DEGREES, theta=-60 * DEGREES)

curve = ParametricFunction(
    lambda u: (1.2 * np.cos(u), 1.2 * np.sin(u), u * 0.05),
    color=RED,
    t_range=(-3 * TAU, 5 * TAU, 0.01),
).set_shade_in_3d(True)
axes = ThreeDAxes(x_length=6, y_length=5, z_length=4)
self.add(axes, curve)
self.play(Create(curve))

3.2. 处理不连续函数

这个示例展示了如何处理不连续函数。

通过指定discontinuities参数，可以正确地绘制不连续函数的图形，这对于展示数学函数的不连续点非常有用。

# 定义不连续函数
def discontinuous_func(t):
    if t in [-2, 2]:
        return (t, 0, 0)  # 在不连续点返回一个默认值
    return (t, (t**2 - 2) / (t**2 - 4), 0)

# 创建 ParametricFunction 对象
func = (
    ParametricFunction(
        discontinuous_func,
        t_range=(-3, 3),
        discontinuities=[-2, 2],  # 指定不连续点
        dt=0.1,  # 不连续点的容差
        color=GREEN,
    )
    .scale(0.5)
    .shift(DOWN)
)

# 添加到场景中
self.play(Create(func))

3.3. 跳动的心形线

这个浪漫的示例展示了如何创建复杂的心形图案，并通过缩放动画赋予其"跳动"效果。

# 心形线参数方程
heart = (
    ParametricFunction(
        lambda t: np.array(
            [
                16 * np.sin(t) ** 3,
                13 * np.cos(t)
                - 5 * np.cos(2 * t)
                - 2 * np.cos(3 * t)
                - np.cos(4 * t),
                0,
            ]
        ),
        t_range=[0, TAU, 0.01],
        color=PINK,
    )
    .scale(0.1)
    .shift(UP * 2)
)

self.play(Create(heart, run_time=2))
self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)
self.play(heart.animate.scale(1.5), rate_func=there_and_back)
self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)

4. 附件

文中的代码只是关键部分的截取，完整的代码共享在网盘中（parametric_function.py），

下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)