[IOI2020] 连接擎天树 题解

第一道函数交互 \(+\ luogu\) 最劣解，这不得发篇博客鼓励一下。

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引理 \(1\)：若 \(p_{i,j}>0,p_{i,k}>0,p_{j,k}=0(i\ne j\ne k)\)，则不合法。

正确性显然。

引理 \(2\)：若 \(p_{i,j}=3\)，则不合法。

证明：设三条路径为 \((i,j),(i,k,j),(i,l,j)\)。

则 \(l\to k\) 有：\((l,i,k),(l,j,k),(l,i,j,k),(l,j,i,k)\) 四条路径。

由于 \(p_{l,k}\le 3\)，矛盾，所以不合法。\(Q.E.D.\)

引理 \(3\)：若只保留 \(p_{i,j}=1\) 的边时，有一个联通块不是完全图，则不合法（这里不代表最终的 \(ans\)）。

证明：设 \(p_{i,j}=p_{i,k}=1,p_{j,k}=0\)，则显然 \((j,i,k)\) 或 \((j,k)\) 为 \(j\to k\) 的一条路径。不合法。

若 \(p_{j,k}=2\)，那么显然 \(p_{i,j}=p_{i,k}>1\)，也不合法。\(Q.E.D.\)

引理 \(4\)：若一个联通块中有两个环，则不合法。

由于有环必有两条路径，所以根据乘法原理，必有 \(p_{i,j}=4\)，不合法。\(Q.E.D.\)

引理 \(5\)：若 \(p_{i,j}=2\)，则 \(i\to j\) 的路径上必有一个环。

正确性显然。

引理 \(6\)：最终图必为基环树和树森林，且基环大小 \(>2\)。每个环上点连接的树就是和环上点 \(p\) 值为 \(1\) 的位置。

根据前边几个引理以及没有重边这条性质，正确性显然。

判断错误的部分用上述引理即可，构造方法就是引理 \(6\)，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

本题解中使用了只用路径压缩的并查集，所以时间复杂度会多 \(\log\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void build(vector<vector<int> >b);
const int N=1005;
int n,vs[N],mp[N][N],fa[N];
vector<vector<int> >ans;
set<int>g[N];int vis[N];
void init(){
	for(int i=0;i<n;i++) fa[i]=i;
}int find(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}void unite(int x,int y){
	x=find(x),y=find(y);
	if(x!=y) fa[y]=x;
}int construct(vector<vector<int> >p){
	n=p[0].size(),ans.clear();
	ans.resize(n),init();
	for(int i=0;i<n;i++) ans[i].resize(n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(p[i][j]>2||p[i][j]!=p[j][i]) return 0;
	for(int i=0;i<n;i++) vs[i]=-1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(vs[i]<0){
			if(!p[i][i]) return 0;
			g[i].insert(i),vs[i]=i;
			for(int j=i+1;j<n;j++) if(p[i][j])
				g[i].insert(j),vs[j]=i;continue;
		}for(int j=0;j<n;j++)
			if((p[i][j]>0)!=g[vs[i]].count(j)) return 0;
	}for(int i=0;i<n;i++) vs[i]=-1,g[i].clear();
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(vs[i]<0){
			if(p[i][i]!=1) return 0;
			g[i].insert(i),vs[i]=i;
			for(int j=i+1;j<n;j++) if(p[i][j]==1)
				g[i].insert(j),vs[j]=i;continue;
		}for(int j=0;j<n;j++)
			if((p[i][j]==1)!=g[vs[i]].count(j)) return 0;
	}for(int i=0;i<n;i++){
		if(vs[i]!=i) continue;
		auto it=g[i].begin(),nw=it;++it;
		for(;it!=g[i].end();nw++,it++)
			ans[(*nw)][(*it)]=ans[(*it)][(*nw)]=1;
	}for(int i=0;i<n;i++) if(vs[i]==i)
		for(int j=0;j<n;j++) if(vs[j]==j)
			if(i!=j&&p[i][j]==2) mp[i][j]=1,unite(i,j);
	for(int i=0,sz=0;i<n;i++,sz=0){
		if(vs[i]!=i) continue;
		for(int j=0;j<n;j++) if(vs[j]==j)
			if(i!=j) sz+=(find(i)==find(j));
		if(sz==1) return 0;
	}for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) if(vs[i]!=vs[j])
		if((find(vs[i])==find(vs[j]))!=(p[i][j]==2)&&i!=j) return 0;
	for(int i=0;i<n;i++) if(vs[i]==i){
		int fl=1;
		for(int j=i+1;j<n;j++) if(vs[j]==j)
			if(find(i)==find(j)){ans[i][j]=ans[j][i]=1,fl=0;break;}
		if(fl) for(int j=0;j<i;j++) if(vs[j]==j)
			if(find(i)==find(j)){ans[i][j]=ans[j][i]=1;break;}
	}return build(ans),1;
}