巴特沃斯(Butterworth)滤波器 (1)

下面深入浅出讲一下Butterworth原理及其代码编写。

1. 首先考虑一个归一化的低通滤波器（截止频率是1），其幅度公式如下：

当n->∞时，得到一个理想的低通滤波反馈: ω＜1时，增益为1；ω＞1时，增益为1；ω=1时，增益为0.707。如下图所示：

 

将s=jω带入上式得：

根据以下三个公式

a. ，这里取σ=0

b.

c. 拉普拉斯变换在虚轴s=jω上的性质：

  

可以得到：

因此极点（分母为0的解）为：

根据和得到：

因此可以求得极点在单位圆上：

如果k从0开始的话，上式括号里可以写作2k+n+1：

  

由于我们只对H(s)感兴趣，而不考虑H(-s)。因此低通滤波器的极点全部在负实半平面单位圆上：

 

该滤波器的传递函数为

 

下面是n=1到4阶的极点位置：

 

例如四阶Butterworth低通滤波器的极点所在角度为：

5π/8, 7π/8, 9π/8, 11π/8

极点位置在：

因此传递函数为：

 

1到10阶的Butterworth多项式因子表格如下：

以上我们考虑的是幅度-3分贝时的截止频率为1时的情况：

其它截止频率可将传递函数中的s替换为：

例如二阶截止频率为100的传递函数为：