Codeforces 1030F 【线段树】【好题】

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题目大意：

给你n个物品，每一个物品有一个位置p和一个权值w，移动一个物品的代价是移动距离*物品权值

有q个询问：

1. 把第i个物品的权值变成j
2. 问把第l到第r个物品移动到一个相邻的区间中\([x,x+r-l]\)，问你最小的代价

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思路

首先我们很显然地发现一定是可以固定一个位置不动的，然后把剩下的移动到这个位置附近

接下来我们考虑怎么找到这个位置

我们设\(S_{(l,r)}=\sum_{i=l}^r w_i\)

假设我们现在要固定移动\([l,r]\)这个区间，且区间中的第k个位置不变，现在考虑这个状态移动第k+1个位置不变的差量

是：\(S_{(l,k)}*(p_{k+1}-p_{k})-S_{(k+1,r)}*(p_{k+1}-p_{k})\)

当且仅当\(S_{(l,k)}\le S_{(k+1,r)}\)时会使答案更优

所以就可以找到一个最大的位置k满足上述条件

接下来考虑怎么计算固定k的代价

对于\(i\in (l,k)\)代价是\(\sum_{i=l}^k(p_k-p_i-(k-i))*w_i\)

对于\(i\in (k,r)\)代价是\(\sum_{i=k}^r(p_i-p_l-(i-k))*w_i\)

我们令\(a_i=p_i-i\)

有:\(ans=\sum_{i=l}^k(p_k-p_i)*w_i+\sum_{i=k}^r(p_i-p_l)*w_i\)

整理一下变成

\(ans=p_k*(S_{l,k}-S_{k,r})-(\sum_{i=l}^kw_ip_i-\sum_{i=k}^rw_ip_i)\)

于是直接开两个线段树分别维护就可以了

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define IL inline
#define fu(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define fd(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
#define FLIE ""
IL LL read(){
  LL ans=0,w=1;char c=getchar();
  while(!isdigit(c)&&c!='-')c=getchar();
  if(c=='-')w=-1,c=getchar();
  while(isdigit(c))ans=(ans<<1)+(ans<<3)+c-'0',c=getchar();
  return ans*w;
}
#define N 300010
#define LD (t<<1)
#define RD (t<<1|1)
#define Mod 1000000007
LL sum1[N<<2],sum2[N<<2];
int a[N],w[N];
int n,q;
LL mod(LL a){a%=Mod;if(a<0)a+=Mod;return a;}
LL add(LL a,LL b){return mod(a+b);}
LL mul(LL a,LL b){return mod(a*b);}
void pushup1(int t){sum1[t]=sum1[LD]+sum1[RD];}
void pushup2(int t){sum2[t]=add(sum2[LD],sum2[RD]);}
void modify1(int t,int l,int r,int pos,LL vl){
  if(l==r){sum1[t]=vl;return;}
  int mid=(l+r)>>1;
  if(pos<=mid)modify1(LD,l,mid,pos,vl);
  else modify1(RD,mid+1,r,pos,vl);
  pushup1(t);
}
void modify2(int t,int l,int r,int pos,LL vl){
  if(l==r){sum2[t]=vl;return;}
  int mid=(l+r)>>1;
  if(pos<=mid)modify2(LD,l,mid,pos,vl);
  else modify2(RD,mid+1,r,pos,vl);
  pushup2(t);
}
LL query1_sum(int t,int l,int r,int L,int R){
  if(L<=l&&r<=R)return sum1[t];
  int mid=(l+r)>>1;
  if(R<=mid)return query1_sum(LD,l,mid,L,R);
  if(L>mid)return query1_sum(RD,mid+1,r,L,R);
  return query1_sum(LD,l,mid,L,mid)+query1_sum(RD,mid+1,r,mid+1,R);
}
int query1_pos(int t,int l,int r,int L,int R,LL vl){
  if(l==r)return l;
  int mid=(l+r)>>1;
  if(R<=mid)return query1_pos(LD,l,mid,L,R,vl);
  if(L>mid)return query1_pos(RD,mid+1,r,L,R,vl);
  LL suml=query1_sum(LD,l,mid,L,mid);
  if(suml>=vl)return query1_pos(LD,l,mid,L,mid,vl);
  else return query1_pos(RD,mid+1,r,mid+1,R,vl-suml);
}
LL query2_sum(int t,int l,int r,int L,int R){
  if(L<=l&&r<=R)return sum2[t];
  int mid=(l+r)>>1;
  if(R<=mid)return query2_sum(LD,l,mid,L,R);
  if(L>mid)return query2_sum(RD,mid+1,r,L,R);
  return add(query2_sum(LD,l,mid,L,mid),query2_sum(RD,mid+1,r,mid+1,R));
}
int main(){
  freopen("input.txt","r",stdin);
  n=read();q=read();
  fu(i,1,n)a[i]=read(),a[i]-=i;;
  fu(i,1,n)w[i]=read();
  fu(i,1,n){
    modify1(1,1,n,i,w[i]);
    modify2(1,1,n,i,mul(a[i],w[i]));
  }
  while(q--){
    int x=read(),y=read();
    if(x<0){
      x=-x;
      w[x]=y;
      modify1(1,1,n,x,w[x]);
      modify2(1,1,n,x,mul(a[x],w[x]));
    }else{
      LL sum=query1_sum(1,1,n,x,y);
      int pos=query1_pos(1,1,n,x,y,(sum+1)>>1);
      LL ans=0;
      ans=add(ans,mul(a[pos],add(query1_sum(1,1,n,x,pos),-query1_sum(1,1,n,pos,y))));
      ans=add(ans,add(-query2_sum(1,1,n,x,pos),query2_sum(1,1,n,pos,y)));
      printf("%lld\n",ans);
    }
  }
  return 0;
}