【BZOJ】2165: 大楼

【题意】从第0层开始有无穷层，每层有n个房间，给定矩阵A，A[i][j]表示从第x层的房间 i 可以跳到第x+A[i][j]层的房间 j （x任意），A[i][j]=0表示不能跳。初始在第0层第1个房间，求最少跳几次可以到达>=m层。n<=100,m<=10^18。

【算法】矩阵快速幂

【题解】我的写法好像和网上的不太一样……

设$f_n[i]$表示跳n步在房间 i 的最高层数（这里全部的n和题目的n无关），考虑递推列向量$f_n$，设转移矩阵T，满足$T_{i,j}=A_{j,i}$，那么有：

$$T \times f_n=f_{n+1}$$

初始状态f0={1,0,0...0}，那么写成幂形式：

$$T^n \times f_0=f_n$$

为了方便，容易发现$T^n$的最左一列就是$f_n$。

我们要跳到$f_n$中包含>=m的数字为止，所以预处理所有$T^{2^i}$，倍增即可。

复杂度O(n^3*log m+n log m)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=;
const ll inf=;
ll m,c2[N],c[N][N],A[][N][N],ans[N][N],ans2[N][N];
int n;
void multply(ll a[N][N],ll b[N][N],ll d[N][N]){
    for(int i=;i<=n;i++){
        for(int j=;j<=n;j++){
            c[i][j]=-inf;//
            for(int k=;k<=n;k++){
                c[i][j]=max(c[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
            }
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++)for(int j=;j<=n;j++)d[i][j]=c[i][j];
}
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%lld",&n,&m);
        for(int i=;i<=n;i++){
            for(int j=;j<=n;j++){
                scanf("%lld",&A[][j][i]);
                if(A[][j][i]==)A[][j][i]=-inf;
            }
        }
        int tot=;
        bool ok=;
        for(int i=;i<=n;i++)if(A[tot][i][]>=m){ok=;break;}
        if(!ok){
            while(){
                tot++;
                multply(A[tot-],A[tot-],A[tot]);
                bool ok=;
                for(int i=;i<=n;i++)if(A[tot][i][]>=m){ok=;break;}
                if(ok)break;
            }
        }
        c2[]=;
        for(int i=;i<=tot-;i++)c2[i]=c2[i-]*;
        ll ANS=c2[tot-];
        for(int i=;i<=n;i++)for(int j=;j<=n;j++)ans[i][j]=A[tot-][i][j];
        for(int i=tot-;i>=;i--){
            multply(ans,A[i],ans2);
            bool ok=;
            for(int j=;j<=n;j++)if(ans2[j][]>=m)ok=;
            if(ok){
                ANS+=c2[i];
                for(int k=;k<=n;k++)for(int l=;l<=n;l++)ans[k][l]=ans2[k][l];//
            }
        }
        printf("%lld\n",ANS+);
    }
    return ;
}

注意T[i][j]=0时设为-inf，即不可达。

网上的角度：关键在于题意的理解……给定n个点的有向图边权矩阵，0表示无边，求最少经过几条边使得路径长度>=m。

经过指定条边后的最长路矩阵是很容易知道的，设$C^x$表示经过x条边后的最长路矩阵，$A$表示有向边权矩阵（0要设为-inf），那么：

$$C^x(i,j)=\max_k\{C^{x-1}(i,k)+A(k,j)\}$$

所以C^x=A^x。

预处理$C^{2^i}$，然后倍增到第一行出现>=m的数字为止。

复杂度O(n^3 log m+n log m)。