变分自编码器（Variational auto-encoder，VAE）

参考：

https://www.cnblogs.com/huangshiyu13/p/6209016.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25401928

https://blog.csdn.net/ustbfym/article/details/78870990

https://blog.csdn.net/StreamRock/article/details/81258543

https://blog.csdn.net/weixin_40955254/article/details/82315224

https://blog.csdn.net/weixin_40955254/article/details/82315909

Kingma, Diederik P., and Max Welling. "Auto-encoding variational bayes." arXiv preprint arXiv:1312.6114 (2013)

简介：

变分自编码器（Variational auto-encoder，VAE）是一类重要的生成模型（generative model），它于2013年由Diederik P.Kingma和Max Welling提出。

这里有一些使用VAE好处，就是我们可以通过编码解码的步骤，直接比较重建图片和原始图片的差异，但是GAN做不到。

假设，给定一系列猫的照片，我希望你能够对应我随机输入的一个n维向量，生成一张新的猫的照片，你需要怎么去做?对于GAN就是典型的深度学习时代的逻辑，你不是不清楚这个n维向量与猫的图片之间的关系嘛，没关系，我直接拟合出来猫的图片对于n维向量的分布，通过对抗学习的方式获得较好的模型效果，这个方法虽然很暴力，但是却是有效的。

VAE则不同，他通过说我希望生成一张新的猫脸，那么这个n维向量代表的就是n个决定最终猫脸模样的隐形因素。对于每个因素，都对应产生一种分布，从这些分布关系中进行采样，那么我就可以通过一个深度网络恢复出最终的猫脸。VAE相比较于GAN它的效果往往会略微模糊一点，但是也不失为一种良好的解决方案。

问题背景：

首先我们有一批数据样本 {x1,…,xn}，其整体用 X 来描述，我们本想根据 {x1,…,xn} 得到 X 的分布 p(X)，如果能得到的话，那我直接根据 p(X) 来采样，就可以得到所有可能的 X 了（包括 {x1,…,xn} 以外的），这是一个终极理想的生成模型了。但是，这个过程往往是很困难的。

于是，我们退而求其次，就想到了上文中提到的隐形变量Z，这个Z就是决定最终x形态的因素向量。给定一个图片Xk，我们假定p(Z|Xk)是专属于Xk的后验概率分布，这个概率分布服从正态分布。得到了这个概率，我们可以从分布中采样，并且通过最终的解码器将图片再恢复出来。

由于上述所说，我们所假设的这些分布都是正态分布，那么我们就需要求得相应的方差和均值，所以在编码实现的过程中，不难看到encoder部分真实做的事情就是，对相应的输入数据，通过两个网络产生了均值和方差。

是一个包含了N个连续或者离散样本x的数据集。

假设数据是通过涉及到一个未观察到的连续随机变量z的过程产生的，这个过程包含了两步。

（1）通过某个先验分布 产生一个 ；

（2）根据某个条件分布 产生样本 。

假设 和产生自分布。

如何得到 和 是一个未知的难题。

文章中用 作为编码器/识别模型（encoder or recognition model），基于数据x产生一个关于数据x的编码值z的分布。

作为解码器/生成模型（decoder or generative decoder），基于编码值z产生一个对应数据x的分布。

其中φ和θ的值通过两者的联合学习得到。

模型推导：

等价于

最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)：一种重要而普遍的求估计量的方法。MLE的目标是找出一组参数,使得模型产生出观测数据的概率最大。

KL散度：相对熵（relative entropy），又被称为Kullback-Leibler散度（Kullback-Leibler divergence）或信息散度（information divergence），是两个概率分布（probability distribution）间差异的非对称性度量。在在信息理论中，相对熵等价于两个概率分布的信息熵（Shannon entropy）的差值。

蒙特卡罗估计（Monte Carlo estimate）：

证明：

MLP（多层感知器）：

VAE的encoder和decoder都只用了一层隐含层。

近似计算的证明：

表示元素乘法；按照高斯分布求解KL散度即可得到结果。

训练好了以后，生成样本采用下面的网络结构：