性能度量之Confusion Matrix

例子:一个Binary Classifier

假设我们要预测图片中的数字是否为数字5。如下面代码。

X_train为训练集，每一个instance为一张28*28像素的图片，共784个features，每个feature代表某个像素的颜色强度（0-255之间）。y_train_5为label, boolean类型的向量。

from sklearn.linear_model import SGDClassifier

sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42)
sgd_clf.fit(X_train, y_train_5)

784个features:

label,True代表是5，False代表非5.

使用Cross-Validation计算精确度

我们使用sklearn的cross validation，对训练集进行分层抽样为3份，每次对不同的抽样进行评估（训练则是使用其他另外2份抽样）。

我们发现，准确率非常高，高的让人怀疑。如果图片中10%都是5的话，那么我们可以自定义一个模型，不用训练，只是在predict的时候，输出false，即一直认为所有图片里的数字都不是5，那么达到的准确率也是90%,如下所示：

所以，从上面的例子说明，评估模型的性能不能单单看准确率，特别是面对倾斜数据（skewed datasets）的时候（某些类别的频率很高的情况）。

Confusion Matrix

Confusion Matrix背后的思想是计算Class A的实例被归类为Class B的次数。我们的例子使用的是二元分类（confusion matrix矩阵包含两行两列），但是对多元分类同样适用。

前面，我们使用cross validation计算的是准确性(scoring="accuracy")，为求出confusion matrix，我们需要得到具体的预测值，而不是score="accuracy"。我们通过cross_val_predict求出训练集的预测值y_train_pred。True, False分别表示判断出对应的图片/实例是5后者不是5

然后通过使用confusion_matrix计算出confusion matrix如下。另外，我们还看到，如果将预测值修改为实际值，左下右上的值都为0，下面我们将详细介绍其含义。

在上面的confusion矩阵中，每行表示真实的分类(actual class)，而每列代表预测的分类(predicted class)。第一行全部为非5的图片(nagative class)，第二行全部为5的图片(positive class)。因为是二元分类，所以矩阵的shape是（2,2）即两行两列。第一行中，第一列的值代表54287张图片被正确地判断为非5（真阴性,Ture Nagative），第二列的值代表292张图片被错误地判断为5（假阳性, False Positive）。第二行中，第一列的值代表2514张图片被错误地判断为非5(False Nagative)，第二列的值2907张图片被正确地判断为5(True Positive). 所以，完美的分类算法是只有True Natative 和 True Positive的。Confusion Matrix包含的信息很多，我们可以求出精确度：Precision = TP/(TP+FP)。但是仅仅精确度是没法衡量模型性能的，我们同时也要看reacall:Recall = TP/(TP+FN)。希望下面这张图能能更清楚地表达Conofusion Matrix。

Precision精确度 , Recall(Also sensitivity, TPR-true positive rate) 召回率

我们通过sklearn求出的precision和recall和我们之前得到的confusion matrix一致。precision表示当模型识别一张图片为5时，正确率在90%以上。但是，它只识别了53%为5的图片，很差劲对吧？

我们可以将两者的调和平均数(harmonic mean) F₁ score作为单独的度量来使用。因为当两者值都高时，F₁ score才会高。公式如3-3所示。

也有一些时候，我们可能并不关心F₁ score（两者的综合得分）。可能更关心precision或者更关心recall. 比如，我们需要过滤掉少儿不宜的视频（识别有害视频），这个时候，我们应该看重的是precision。(模型宁可把正常的视频当成有害的，也不能把有害的当成正常的). 再比如，超市的监控系统通过画面识别偷窃行为，那可能更需要关注recall。(我们宁可多一些误报，也不想放过真正的小偷造成损失)。不幸的是，我们不能同时提高两者，增加一个，势必减小另一个，如同某个算法的空间复杂度和时间复杂度一样需要平衡。这叫做precision/recall tradeoff。下面我们详细说明。

Precision / Recall Tradeoff

对于每个实例，模型会根据一个decision function计算出score，凡是score大于某个阈值(threshold)，就归为positive 类，小于则归为nagative类。此例子中的SDGClassifier使用0作为默认的阈值。下图中，score从左至右增大。如果我们将阈值设置为绿圈所在值，那么绿圈右边全被判断为5，左边全部被识别成非5. precision=4/(4+5)=80%, recall=4/(4+2)=67%。如果我们将阈值向右移动到蓝圈处（增大阈值），我们计算的precision=3/(3+0)=100%, recall=3/(3+3)=50%。通过增大阈值，我们增大了precision，减小了recall. 同样，我们如果将阈值移到红圈的地方（减小阈值），则增大了recall,减小了precision。

sklearn没有直接设置阈值去predict的方法，不过，我们可以通过decision_function计算出score来调整结果。如下所示，some_digit是某个实际值为5的图片。

为了设置阈值，我们需要通过cross validation先计算出所有实例的score（而不是预测结果），然后通过sklearn的precision_recall_curve画出precision和recall随着不同阈值变化的曲线图

y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method="decision_function")

from sklearn.metrics import precision_recall_curve

precisions, recalls, thresholds = precision_recall_curve(y_train_5, y_scores)

你是否注意到precision的曲线并不像recall那样平滑，事实上，当增加threshold的时候，precision是不一定增加的，而recall一定不会增加。比如，我们将之前的阈值从绿圈向右移动到绿圈蓝圈之间（数字5,6之间），相比绿圈，其precision=3/(3+1)=75%,反而下降了。recall=3/(3+3)=50%，下降属于正常。这就解释了为什么precision曲线不一定很平滑。现在，你可以选择阈值达到precision/recall平衡来适应你的需求了。我们也可以直接画出两者的关系，来选择平衡点。

我们可以看到，precision在80%后，下降的很厉害（recall上升的很厉害），所以，你可能想选择有一个在大幅度下降之前的值，recall为60% 。我们可以通过上一张图确定阈值大概为70000(需要zoom)，运行如下代码得到新的预测值。

y_train_pred_90 = (y_scores > 70000)

验证precision/recall

了解了confusion matrix后，如果某某声称其模型的precision很高时，我们应该问模型的recall是多少。因为任何一个很低的时候，模型大多情况下是没有太大意义的。