算法笔记（c++）--01背包问题

　　　　　　　　　　　　　　　算法笔记（c++）--经典01背包问题

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算法解释起来太抽象了。也不是很好理解，最好的办法就是一步步写出来。

背包问题的核心在于m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i])这个公式理解起来还是有点麻烦的特别我这种脑子笨的人。所以我先上段代码，然后那数据一步步分析就行了。

先上代码：代码稍微看看就行了，关键我下面的解释，走一遍就懂了。

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=;//假设物品最多个数
int v[N]={,,,,,,};  //价格
int w[N]={,,,,,,};   //体积

int main()
{
    int m[N][N]={};    //m[i][j]数组代表在第i件物品,背包容量为j时候能获得最大的价值
    int n=,c=;//设物品个数为6，背包容量为12
    for(int i=;i<=n;i++)   //遍历物品个数
    {
        for(int j=;j<=c;j++)//各种容量情况
        {
            if(j>=w[i])//若此时背包容量大于当前物品重量
                //这里的m[i-1][j]就是第i-1个物品在j容量下的价值
                //m[i-1][j-w[i]]这就是i-1个物品时候,背包容量为j-w[i]时候的最大价值
                m[i][j]=max(m[i-][j],m[i-][j-w[i]]+v[i]);
            else//背包容量小于当前物品重量
                m[i][j]=m[i-][j];//维持第i-1个物品时候的背包重量
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        for(int j=;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
    return ;
}

先解释下m[i][[j]的含义就是在i种物品的情况下，包容量为j的情况下，包内的最大价值。

另外：这里的价值和体积一开始用00这是自己先加上去的，因为公式里面有个m[i-1][j]，当i=1的时候m[0][j]就是当0种物品时候不管j等于多少肯定是0啦。

好了接下来按照代码顺序来走一遍，走一遍就明白了。先上下数据表

体积	价值
0	0
4	8
6	10
2	6
2	3
5	7
1	2

我们代码中设置的物品个数为6，背包容量为12

m设[N][N]   N其实应该是max(物品个数，背包容量)。但是设大点又没事。

然后先开始遍历我接下来用(x,y)来代替m[i][j]了。

按照上面代码遍历顺序。

当0种物品或者0背包容量时候毫无疑问总价值为0---->所以(0,j)=0并且(i,0)=0

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1）当0号物品，和一号物品的情况下

当物品仅有编号为1号物品的时候,背包容量为1的时候，此时判断当前背包容量是否大于1号物品的体积。

可以看见一号物品的体积为4，于是维持(i-1,j)也就是(0,1)时候的价值0;

同理我们一直到背包容量为3的时候，都是小于1号物品的体积的，所以都等于自己(i-1,j)时候包内的价值，所以都是0。

这样(1,1)(1,2)(1,3)都是0

当道(1,4)就不一样了这时候1号物品的体积等于了包的容量。这时候我们就想放进去。

怎么判断放不放呢？我们先给我们的背包腾出4个空间，看看腾出4个体积情况下包的价值是多少。然后把1号物品放进去和之前(0,4)比较下就好了。

看下公式(i,j)=max((i-1,j),(i-1,j-1号物品的体积)+1号物品的价值);

这样就简单明了啦，i-1的意思就是不算当前物品，或者说是前i-1个物品的情况下。

　　　　　　　　　j-w[i]的意思就是当前背包容量减去当前物品

　　　　　　　　　于是(i-1,j-1号物品的体积)+1号物品的价值)就是腾出4个体积后放入物品1后的价值，这个值为一号物品的价值8

　　　　　　　　　很明显，8>0，所以(1,4)=8

接下来4-12同样，不过只有物品1所以妥妥的都是8于是(1,4)(1,5)......(1,12)都是8

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2）当有0,1,2号物品的情况下

首先(2,0)=0这没啥毛病

(2,1)时候，背包容量小于当前2号物品体积，所以=0；(2,1)(2,2)(2,3)都是

当(2,4)时候有了变化，(2,4)依然小于当前2号物品体积，所以这时候我们用（1,4）时候，（1,4)代表有0和1号物品时候的包内最大价值，我们在上面已经算出来了是8，于是(2,4)=8；

同理一直到（2,5）还是8.

但是当(2,6)这时候包已经可以放下2了，我们就给2号物品腾出6个空间把2号物品放进去，腾出6个空间后，现在2还没有放进去于是(1,0)=0,现在把二放进去就是(2,6)+2号物品的价值10

因为(1,6)=8<10所以(2,6)=10

同理，(2,7)...(2,9)都是10了

当(2,10)时候这时候又发送变化了，我们再给2号腾出6个空间发现(1,4)=4居然可以放下了，于是我们再把2号物品一起装到包里。就变成了(2,10)=18;

通过这两个例子应该很清楚了

下面我打印下结果看下是不是这样：

看见了把没毛病。确实和我解释的一样，那么下面的也都是这样了，最后要获取最大的价值。直接m[6][12]=24就行了。

总之最关键的就是那句话

m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]+v[i]])

但是理解了还不够，最好自己推演一遍，我觉得这是掌握疑难最好的办法。

就脑子里面想想会漏掉很多细节，推演一遍就可以真正懂。