poj_3579 二分法

题目大意

给定N个数，这些数字两两求差构成C(N,2)（即N*(N-1)/2）个数值，求这C(N,2)个数的中位数。N <= 100000.

题目分析

根据数据规模N最大为100000，可知不能直接求每两个数的查找（O(N*N)复杂度），然后排序，再求中位数。考虑使用二分法查找满足要求的中位数： 
    先将原数组排序，然后假设数k为中位数，那么如果这N个数字构成的C(N,2)个差值中小于k的小于C(N,2)/2个，则k需要增加；如果小于等于k的数字大于等于C(N,2)，那么k需要减少。最后求出的k是恰好满足C(N,2)个差值中小于等于k的数大于等于C(N,2)个，且差值中存在k 的最小值。

实现(c++)

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX_N 100005

int an[MAX_N];
int DiffKLessThanHalf(int n, int k){
	int sum = 0;
	int max_pair = n*(n-1) / 2;
	max_pair = max_pair / 2 + max_pair % 2; //小于等于中位数的最少个数
	bool flag = false;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++){
		int beg = i + 1, end = n;
		while (beg < end){
			int mid = (beg + end) / 2;
			if (an[mid] - an[i] == k){ //差值中存在k，说明k可以做为中位数
				flag = true;
			}
			if (an[mid] - an[i] <= k)
				beg = mid + 1;
			else
				end = mid;
		}
		sum += (beg - i - 1);	//和 an[i] 的差值小于等于k的个数 为 beg - i - 1
		if (sum >= max_pair && flag)//小于等于k的个数 至少为C(N,2) 且 存在差值等于k，说明k可以作为一个中位数，
									//但后续需要继续求满足这种条件的最小的k。直接返回
			return 2;
	}
	if (sum < max_pair)	//小于等于k的个数 小于 C(N,2)，说明中位数 > k
		return 0;
	return 1;
}

int main(){
	int n;

	while (scanf("%d", &n) != EOF){
		for (int i = 0; i < n; i++){
			scanf("%d", &an[i]);
		}
		sort(an, an + n);
		int beg = 0, end = an[n-1] - an[0] + 1;
		int rr = 0;
		while (beg < end){
			int mid = (beg + end) / 2;
			int result = DiffKLessThanHalf(n, mid);
			if (result == 0)
				beg = mid + 1;
			else if (result == 1){
				end = mid;
			}
			else{
				end = mid;
				rr = mid;	//记录下一个可能的中位数值
			}
		}
		printf("%d\n", rr);
	}
	return 0;
}