Min_25筛学习笔记

感觉好好用啊

Luogu上的杜教筛模版题一发 Min_25抢到了 rank1

$ Updated \ on 11.29 $被 STO txc ORZ踩爆啦

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前言

$ Min$_$25$筛可以求积性函数的前缀和

要求$ f(p_i)为一个多项式，f(p_i^{k_i})可以快速计算$

以下部分暂时忽略$ 1$，即只考虑最小质因子$ \geq 2$的那些数

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先考虑素数贡献

我们定义$ sp(n)$表示$\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)$即前$ n$个素数的积性函数和

这里我们先假设$ f$对于质数的计算是完全积性函数

$ P_i$表示线筛求出的第$ i$小的质数

令$ g(n,i)$表示$ \sum\limits_{j=2}^n [j的最小质因数>P_i或j是质数]f(j)$

在这里$ f(j)$表示假设$ j$是质数，以质数方式带入函数计算的结果

由于合数会被筛掉因而不会影响答案

考虑怎么计算$ g(n,i)$

类似线性筛的方式每次筛掉一批合数

如果$P_i^2>n$则有$ g(n,i)=g(n,i-1)$

因为第$ i$个质数能筛掉的最小合数是$ P_i^2$

因此筛质数只需要筛到$ \sqrt n$即可

如果$ P_i^2<=n$有$ g(n,i)=g(n,i-1)-f(P_i)*(\ g( \frac{n}{P_i},i-1)-sp_{i-1}\ )$

原理是假设$ P_i$是一个质因数，它能产生的合数贡献是$ f(P_i)*g( \frac{n}{P_i} ,i-1)$

但是由于$ P_i$不一定是最小质因数，还要加回多减的小质数即$ sp_{i-1}$

由于满足$ f$是完全积性函数，上面部分还算挺清真的

我们需要求的只是$ g(x,INF)$

注意我们发现我们需要求的$ g(x,INF)$只需要满足存在$ d$使得$ x=\frac{n}{d} $即可

可以提前整数分块这样只需要计算$ \sqrt n$数量级的$ g(x,INF)$即可

可以通过滚动数组递推的方式完成这一部分

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我们令$ S(n,m)$表示$ \sum\limits_{i=2}^n[i的最小质因数 \geq P_m]f(i)$

显然我们要求的是$ S(n,1)$

递归求解

贡献分两步统计：

质数贡献:$ g(n,INF)-sp(m-1)$

即去掉较小的质数以外其他质数都会被计算到

合数贡献:$ \sum\limits_{k=m}^{P_k^2<=n}\sum\limits_{e=1}^{P_k^{e+1}<=n}f(P_k^e)S(\frac{n}{P_k^e},k+1)+f(P_k^{e+1})$

即枚举当前选择的最小质因数以及数量转移，同时计算只选择多于两个当前因数即不往后转移的合数情况

这样直接转移就好了

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栗子：筛$ \sum\limits_{i=1}^n \phi(i)$

发现$ phi(P_i)=P_i-1$即对于质数的计算不是一个完全积性函数

这时候需要拆开计算

令$ g(P_i)=P_i$，$ h(P_i)=1$

这样分成两个完全积性函数，分别筛质数求值然后相减即可

推$ S(n,m)$的时候不会有影响

筛$ \sum\limits_{i=1}^n \mu(i)$也没有本质区别

传送门：here

$ my \ code:$

#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define file(x)freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout)
#define rt register unsigned
#define l putchar('\n')
#define ll long long
#define r read()
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x = ; char zf = ; char ch = getchar();
    while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
    if (ch == '-') zf = -, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x *  + ch - '', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<)putchar('-'),y=-y;if(y>)write(y/);putchar(y%+);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt;
ll sp[],g[];int h[],ss[];bool pri[];
int id1[],id2[],q[],t,sz;
void init(){
    sz=sqrt(n);
    for(rt i=;i<=sz;i++){
        if(!pri[i])ss[++cnt]=i,sp[cnt]=sp[cnt-]+i;
        for(rt j=;j<=cnt&&i*ss[j]<=sz;j++){
            pri[i*ss[j]]=;
            if(i%ss[j]==)break;
        }
    }
    for(rt i=;i<=n;){
        const unsigned v=n/i;unsigned R=n/v;
        q[++t]=v;if(v<=sz)id1[v]=t;else id2[n/v]=t;
        g[t]=(ll)v*(v+)/-;
        h[t]=v-;i=R+;
    }
}
int id(int x){
    if(x<=sz)return id1[x];
    return id2[n/x];
}
ll S(int n,int m){
    if(n<=||ss[m]>n)return ;
    ll ret=g[id(n)]-sp[m-]+m-;//cout<<n<<' '<<m<<endl;
    for(rt k=m;ss[k]*ss[k]<=n&&k<=cnt;k++)
    for(rt v=ss[k],p1=ss[k]-;(ll)v*ss[k]<=n;v=v*ss[k],p1=p1*ss[k])
    ret+=(S(n/v,k+)+ss[k])*p1;//ss[k];
    return ret;
}

int D(int n,int m){
    if(n<=||ss[m]>n)return ;
    int ret=h[id(n)]+(m-);//cout<<n<<' '<<m<<endl;
    for(rt k=m;ss[k]*ss[k]<=n&&k<=cnt;k++)
    ret-=D(n/ss[k],k+);//ss[k];
    return ret;
}
int main(){
    for(rt T=r;T;T--){
        n=r;
        if(n==){
            cout<<<<' '<<<<endl;
            continue;
        }
        t=cnt=;init();
        for(rt i=;i<=cnt;i++){//枚举外层质数
            const int v=ss[i]*ss[i];
            for(rt j=;j<=t&&v<=q[j];j++){
                const int k=id(q[j]/ss[i]);
                g[j]-=ss[i]*(g[k]-sp[i-]);
                h[j]-=h[k]-i+;
            }
        }
        for(rt i=;i<=t;i++)g[i]-=h[i],h[i]=-h[i];
        write(S(n,)+);putchar(' ');
        writeln(D(n,)+);
    }
    return ;
}