51Nod1309 Value of all Permutations 期望

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题目传送门 - 51Nod1309

题意

长度为N的整数数组A，有Q个查询，每个查询包含一个数M，对A的所有不同排列，执行find函数（需用到查询中的M），你来计算find函数的返回值的和。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

 

void find(int permutation_A[], int M){
    x = Length(permutation_A);
    sum = 0;
    for(i = 0; i < x; i++) {
        if (permutation_A[i] <= M)
            sum = sum + permutation_A[i];
        else
            break;
    }
    return sum;
}

 

 

 

题解

　　我们首先考虑求答案的期望。

　　由于期望具有线性性，所以我们可以对于每一个数字对答案的贡献分开考虑。

　　显然，如果在一个排列中，如果当前数字产生贡献，当且仅当该数字不大于 m ，且所有大于 m 的数字都出现在它后面。那么，设大于等于 m 的数字有 k 个，假设当前数字不大于 m ，那么当前数字产生贡献的概率是 $\frac{1}{k+1}$ 。那么它对总期望的贡献就是 它的值 × 概率。我们只需要把所有不大于 m 的数对期望的贡献求和就可以得到总期望了。又由于，所有不大于 m 的数产生贡献的概率相同，所以我们可以前缀和处理一下，快速求得期望。

　　所以最终答案就是期望 × 排列总数。

代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50005,mod=1e9+7;
int n,q,a[N],Ha[N],p[N],hs;
int Fac[N];
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=1LL*ans*x%mod;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		Ha[i]=a[i];
	hs=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
		if (Ha[i]!=Ha[i-1])
			p[hs]=i-1,Ha[++hs]=Ha[i];
	p[hs]=n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=(a[i-1]+a[i])%mod;
	Fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%mod;
	int ans=Fac[n];
	for (int i=1;i<=hs;i++)
		ans=1LL*ans*Pow(Fac[p[i]-p[i-1]],mod-2)%mod;
	while (q--){
		int v;
		scanf("%d",&v);
		int x=upper_bound(Ha+1,Ha+hs+1,v)-Ha-1;
		int now=1LL*ans*Pow(n-p[x]+1,mod-2)%mod*a[p[x]]%mod;
		printf("%d\n",now);
	}
	return 0;
}