51Nod 机器人走方格 V3 —— 卡特兰数、Lucas定理

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1120

题解：

1.看到这种题，马上就想到了卡特兰数。但卡特兰数最快也要O(n)的时间复杂度去递推或者预处理，而n的范围是1e9，所以行不通。但发现Mod的值为10007，感觉突破口在里头，但没有头绪。

2.后来发现了Lucas定理：

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p，p为素数

这个式子大大缩小了n的范围，因此就可以直接上卡特兰数的公式了：

h(n) = C(2n,n) - C(2n,n+1)，n=0,1,2...

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 //const int MOD = 1e9+7;
 const int MAXN = 1e6+;

 const int MOD = ;
 int qpow(int x, int y)
 {
     int s = ;
     while(y)
     {
         if(y&) s = (s*x)%MOD;
         x = (x*x)%MOD;
         y >>= ;
     }
     return s;
 }

 int A[*MOD+], inv[*MOD+];
 int C(int n, int m)
 {
     if(n<m) return ;
     return (((A[n]*inv[n-m])%MOD)*inv[m])%MOD;
 }

 int lacus(int n, int m)
 {
     int s = ;
     while(n&&m)
     {
         s = (s*C(n%MOD,m%MOD))%MOD;
         n /= MOD;
         m /= MOD;
     }
     return s;
 }

 void init()
 {
     A[] = inv[] = ;
     for(int i = ; i<=*MOD; i++)
     {
         A[i] = (i*A[i-])%MOD;
         inv[i] = qpow(A[i],MOD-);
     }
 }

 int main()
 {
     init();
     int n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
         n--;
         int ans = (lacus(*n,n)-lacus(*n,n+)+MOD)%MOD;
         ans = (ans*)%MOD;
         printf("%d\n", ans);
     }
 }