【BZOJ2818】Gcd（莫比乌斯反演）

【BZOJ2818】Gcd（莫比乌斯反演）

题面

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的

数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

题解

题目要求的：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)\_is\_prime]
\]

把因数提出来

\[\sum_{d=1}^{n}[d\_is\_prime]\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}[gcd(i,j)==1]
\]

后面那个不说了

很显然的莫比乌斯反演

参考这道题目，一模一样的东西

如果不考虑\(d\_is\_prime\)这个东西

很显然的数论分块

加上了这个限制

就再预处理一个素数个数的前缀和就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 10000000
#define ll long long
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int n,m;
bool zs[MAX+1000];
ll pri[MAX+1000],tot,smu[MAX+1000],spr[MAX+1000];
long long ans=0;
void pre()
{
	zs[1]=true;smu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,smu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0){smu[i*pri[j]]=0;break;}
			else smu[i*pri[j]]=-smu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)smu[i]+=smu[i-1];
	for(int i=1;i<=n;++i)spr[i]=spr[i-1]+(!zs[i]?1:0);
}
ll Solve(int a)
{
	int i=1,j;
	long long ret=0;
	while(i<=a)
	{
		j=a/(a/i);
		ret+=1ll*(smu[j]-smu[i-1])*(a/i)*(a/i);
		i=j+1;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	n=read();
	int i=1,j;
	pre();
	while(i<=n)
	{
		j=n/(n/i);
		ans+=(spr[j]-spr[i-1])*Solve(n/i);
		i=j+1;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}