●codeforces 528D Fuzzy Search

题链：

http://codeforces.com/problemset/problem/528/D

题解：

FFT

先解释一下题意：

给出两个字符串（只含'A','T','C','G'四种字符），一个为文本串T（长度为n），一个为模式串S（长度为m）。

要用模式串去匹配文本串。

同时给出一个正整数k，表示允许的匹配误差范围为k，即：

如果对于T[i]和S[j]，只要在T[i-k～i+k]范围中存在一个字符与S[j]相同，那么T[i]和S[j]就匹配。

求出T中有多少个位置i满足从该位置开始的长度为m的子串T[i~i+m-1]可以和S串匹配。

---

由于字符集很小，我们可以对每种字符处理。

假设现在只考虑'A'字符，

我们标记出T串中有哪些位置可以和A字符匹配，得到数组f，（1表示该位置匹配，0表示无法匹配）

同时也用0，1标记出S串中的A字符，得到数组g。

然后不难发现，如果让T串的第i位和S串的第j位匹配，那么匹配是否成功就可以用$f[i]*g[j]$表示

所以如果要让S串和T的第$l$位开始匹配，我们可以得到匹配的贡献$D_A(l)$:

$$D_A(l)=\sum_{k=0}^{m-1}f(l+k)g(k)$$

这个式子可以写成卷积的形式，即只需要把S串翻转一下，就可以得到：

$$D_A(l)=D_A'(l+m-1)=\sum_{k=0}^{m-1}f(l+k)g(m-1-k)$$

然后就可以用FFT求出所有的$D_A$。

同理可以的到$D_T,D_C,D_G$。

那么对于T的l位置开始的长度为m的子串是否于S串匹配，就只需要判断$D_A(l)+D_T(l)+D_C(l)+D_G(l)$是否等于m即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 524289
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
struct Complex{
	double real,image;
	Complex(double _real=0,double _image=0):real(_real),image(_image){}
	Complex operator - () const{return Complex(-real,-image);}
	friend Complex operator + (const Complex &A,const Complex &B){return Complex(A.real+B.real,A.image+B.image);}
	friend Complex operator - (const Complex &A,const Complex &B){return A+(-B);}
	friend Complex operator * (const Complex &A,const Complex &B){return Complex(A.real*B.real-A.image*B.image,A.image*B.real+A.real*B.image);}
}null(0,0);
int cnt[MAXN],T[MAXN],S[MAXN],order[MAXN];
Complex A[MAXN],B[MAXN];
int idx(char ch){
	switch(ch){
		case 'A':return 1;	case 'T':return 2;
		case 'C':return 3;	case 'G':return 4;
	}
	return 0;
}
void getstring(int *s,int len){
	static char ch;
	for(int i=0;i<len;i++)
		scanf(" %c",&ch),s[i]=idx(ch);
}
void mark(int *s,int len,int id,int lim,Complex *Y,int n){
	static int last; last=-INF;
	for(int i=0;i<n;i++) Y[i]=null;
	for(int i=0;i<len;i++){
		if(s[i]==id) last=i;
		if(i-last<=lim) Y[i].real=1;
	} last=INF;
	for(int i=len-1;i>-1;i--){
		if(s[i]==id) last=i;
		if(last-i<=lim) Y[i].real=1;
	}
}
void FFT(Complex *Y,int n,int sign){
	for(int i=0;i<n;i++) if(i<order[i]) swap(Y[i],Y[order[i]]);
	for(int d=2;d<=n;d<<=1){
		Complex dw(cos(2*Pi/d),sin(sign*2*Pi/d)),w,tmp;
		for(int i=0;w=Complex(1,0),i<n;i+=d)
			for(int k=i;k<i+d/2;w=w*dw,k++)
				tmp=w*Y[k+d/2],Y[k+d/2]=Y[k]-tmp,Y[k]=Y[k]+tmp;
	}
}
int main(){
	int n,m,k,N,len,ans=0;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	getstring(T,n);
	getstring(S,m);
	reverse(S,S+m);
	for(N=1,len=0;N<n+m-1;N<<=1) len++;
	for(int i=1;i<N;i++) order[i]=(order[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	for(int id=1;id<=4;id++){
		mark(T,n,id,k,A,N);
		mark(S,m,id,0,B,N);
		FFT(A,N,1); FFT(B,N,1);
		for(int i=0;i<N;i++) A[i]=A[i]*B[i];
		FFT(A,N,-1);
		for(int l=0;l<n;l++) cnt[l]+=(int)((A[l+m-1].real+0.5)/N);
	}
	for(int l=0;l<=n;l++) if(cnt[l]==m) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}