「PKUWC2018」随机游走

题目

我暴力过啦

看到这样的东西我们先搬出来\(min-max\)容斥

我们设\(max(S)\)表示\(x\)到达点集\(S\)的期望最晚时间，也就是我们要求的答案了

显然我们也很难求出这个东西，但是我们有\(min-max\)容斥

设\(min(S)\)表示\(x\)第一次到达\(S\)的期望时间，我们就有

\[max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}min(T)
\]

我们现在只需要求出所有\(min(S)\)之后用\(fwt\)做一个子集和就好了

尽管这是一棵树，但是我并没有推出什么优美的转移方程，我们考虑暴力高消

设\(dp_{x,s}\)表示从\(x\)到集合\(s\)的期望步数

显然如果有\(x\in s\)，那么\(dp_{x,s}=0\)

否则

\[dp_{x,s}=1+\sum_{(x,v)\in e}\frac{dp_{v,s}}{d_x}
\]

于是我们对于每一种\(s\)分别列方程转移就好了

复杂度是\(O(2^{n}n^3)\)

但是我们注意到没有包含\(x\)点的集合只有\(2^{n-1}\)个，同时高消的常数小至\(\frac{1}{8}\)，同时很多高消都没有跑满，于是还是跑的挺快的

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
inline int read() {
	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int mod=998244353;
struct E{int v,nxt;}e[40];
int num,n,Q,X,len;
int dp[262145];
int head[19],d[19];
int cnt[262145];
int a[20][20],id[20],vis[20],to[20],inv[20],ans[20];
inline int ksm(int a,int b) {
	int S=1;
	while(b) {if(b&1) S=1ll*S*a%mod;b>>=1;a=1ll*a*a%mod;}
	return S;
}
inline void add(int x,int y) {
	e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
inline void solve(int S) {
	int t=0;memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(re int i=1;i<=n;i++) {
		if(S&(1<<(i-1))) continue;
		vis[i]=1;id[++t]=i;to[i]=t;
	}
	if(!vis[X]) return;
	memset(a,0,sizeof(a));
	for(re int i=1;i<=t;i++) {
		int x=id[i];
		for(re int j=head[x];j;j=e[j].nxt)
		if(vis[e[j].v]) a[i][to[e[j].v]]=inv[d[x]];
		a[i][i]=mod-1;a[i][t+1]=mod-1;
	}
	for(re int i=1;i<=t;i++) {
		int p=i;
		for(p=i;p<=t;p++) if(a[p][i]) break;
		if(p!=i) std::swap(a[i],a[p]);
		int now=ksm(a[i][i],mod-2);
		for(re int j=n+1;j>=i;--j) a[i][j]=1ll*a[i][j]*now%mod;
		for(re int j=i+1;j<=t;j++)
			for(re int k=t+1;k>=i;--k) {
				a[j][k]=(a[j][k]-1ll*a[j][i]*a[i][k]%mod);
				if(a[j][k]<0) a[j][k]=(a[j][k]+mod)%mod;
			}
	}
	ans[t]=a[t][t+1];
	for(re int i=t-1;i>=0;--i) {
		ans[i]=a[i][t+1];
		for(re int j=i+1;j<=t;j++) {
			ans[i]-=1ll*a[i][j]*ans[j]%mod;
			if(ans[i]<0) ans[i]=(ans[i]+mod)%mod;
		}
	}
	dp[S]=ans[to[X]];
	if(cnt[S]&1) return;
	dp[S]=mod-dp[S];
}
inline void Fwt(int *f) {
	for(re int i=2;i<=len;i<<=1)
		for(re int ln=i>>1,l=0;l<len;l+=i)
			for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
				f[x+ln]+=f[x];
				if(f[x+ln]>=mod) f[x+ln]%=mod;
			}
}
int main() {
	n=read(),Q=read();X=read();
	inv[1]=1;
	for(re int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(re int x,y,i=1;i<n;i++) {
		x=read(),y=read(),d[x]++,d[y]++;
		add(x,y),add(y,x);
	}
	len=(1<<n);
	for(re int i=1;i<len;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	for(re int i=1;i<len;i++) solve(i);
	Fwt(dp);
	while(Q--) {
		int k=read(),S=0;
		for(re int i=1;i<=k;i++) S|=(1<<(read()-1));
		printf("%d\n",dp[S]);
	}
	return 0;
}

我还是来补一下正解吧，据说这是树上随机游走的套路

我们设\(f_x\)表示从\(x\)到点集\(s\)的期望步数

据说树上路径唯一我们可以设\(f_x=A_xf_x+B_x\)

我们写出\(f_x\)的转移

\[f_x=\frac{f_t+\sum_{x\rightarrow c}f_c}{d_x}+1
\]

其中\(c\)是\(x\)的儿子

也就是

\[d_xf_x=f_t+\sum_{x\rightarrow c}f_c+d_x
\]

\[d_xf_x=f_t+\sum_{x\rightarrow c}A_cf_x+\sum_{x\rightarrow c}B_c+d_x
\]

\[(d_x-\sum_{x\rightarrow c}A_c)f_x=f_t+\sum_{x\rightarrow c}B_c+d_x
\]

于是我们现在解得

\[A_x=\frac{1}{d_x-\sum_{x\rightarrow c}A_c}
\]

\[B_x=\frac{\sum_{x\rightarrow c}B_c+d_x}{d_x-\sum_{x\rightarrow c}A_c}
\]

对于在\(S\)集合的点显然满足\(A=B=0\)，叶子结点的\(A,B\)我们能直接算，我们一路推到根由于根没有父亲，所以\(f_{rt}=B_{rt}\)，这样我们就能把所有的\(f_x\)都算出来了，复杂度是\(O(2^nn)\)

代码就不写了