STL next_permutation 算法原理和实现

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目标

STL中的next_permutation 函数和 prev_permutation 两个函数提供了对于一个特定排列P，求出其后一个排列P+1和前一个排列P-1的功能。

这里我们以next_permutation 为例分析STL中实现的原理，prev_permutation 的原理与之类似，我们在最后给出它们实现上差异的比较

问题：

给定一个排列P，求出其后一个排列P+1是什么。

思路

按照字典序的定义不难推出，正序，是一组排列中最小的排列，而逆序，则是一组排列中最大的排列。

从字典序的定义出发，我们可以看到，n个元素的排列全排列中，从给定排列P 求解下一排列P+1 ，假设两个排列有前k位是相同的(0<=k<=n)，那么我们只需要在后面n-k个元素的排列 P(n-k)中求得下一个排列即可。

既然我们关心的是后面 n-k位的排列，那么不妨开开脑洞，从后向前考察排列。

首先我们举一个比较极端的例子：排列 1 2 3 4 5

很显然，这是一个正序排列（递增序列），因此这是这几个数字所组成的排列中最小的排列，记为P1.

现在我们要求出P2，P2是 1 2 3 5 4. 我们可以看到，P2的前三位和P1的前三位的排列完全相同，唯一的变化是最后两位颠倒顺序，这一顺序的颠倒有何玄机呢？——使得最后两位从正序的 4 5 变成了逆序的 5 4.

接着求P3.P3是 1 2 4 3 5. 我们看到，最后两位已经是逆序，不可能有字典序更大的排列，因此必须考虑更多的位，在后3个元素中，3 5 4 显然不是逆序，因此一定存在字典序更大的排列方式，我们由此确定了n-k==3

我们现在要在 3 5 4 中求得下一个排列，3 5 4 不是一个逆序，是因为 3 后面有元素大于3 。我们要在大于3的数字中选择最小的那个，和3交换，因为这样可以保证得到最小的首位元素。对于这个例子，我们选择将3和4进行交换，而不是3 和 5，这样得到的首位元素是4. 现在我们得到了排列 4 5 3 。

显然，4 5 3 并不是我们想要的下一个排列，下一个排列是 4 3 5. 观察区别，不难看出，首位元素一定是4，但是5 3 这个子排列是一个逆序排列。

为什么会是逆序排列？

因为我们寻找的时候就以是不是逆序为分割点，3 恰好是第一个非逆序的元素，而4作为与3 交换的元素，又比3要大，因此交换后得到的 5 3 一定是逆序的排列。

逆序排列没有下一排列，但是将逆序排列反向后，我们就得到了对应的正序排列，而正序排列是当前元素所能形成的最小排列，因此，4 3 5 是4 为首位元素所能形成最小排列，而前3 位没有变化，故我们得到了下一排列P3.

另外，大于3的最小元素，即4 ，也是第一个大于3的元素，因为 5 4 是个逆序排列。

更一般地，例如对于可重集排列 1 2 3 7 6 5 2 1

我们首先寻找第一个非逆序元素，这里是3，然后从后向前寻找第一个大于3的元素，这里是5，交换，得到 5 7 6 3 2 1 的子排列，然后反向，即可得到下一排列。如果没有找到第一个非逆序元素，那么说明该排列已经是最大排列。

我的理解是：既然要找下一个排列的化，我们就要从后面找到最大的逆序子排列，然后从中找到最小的大于第一个非逆序元素的元素，然后就交换他们的值，这就保证了它在大于原序列的排列中是最接近的，因为逆序排列是一个排列中字典序最大的

那个，所以我们为了使它和原排列最接近，我们要把它转换成升序排列，因为升序排列是一个排列中字典序最小的，这就保证了得到的排列是原排列的下一个排列。

例：如果我们要求 1 6 3 4 7 6 3 1的下一个排列

我们先从后面找到最长的逆序排列：7 6 3 1

因为7 6 3 1这个子排列是最大的排列，所以我们不能找到比它更大的排列（对于这个长度为4的子排列）

所以我们要通过更改这个逆序列前面的一个数字来使它变，因为要找到它的下一个排列，所以我们要找的是比原排列更大的最小的那个

我们就从逆序列中找到最小的比第一个非逆序数列数字大的数字，然后交换他们的值，交换后的逆序列任然是逆序的（因为我们找的是最小的比第一个非逆序数列数字大的数字，交换后它还是小于它前面的数字，大于它后面的数字）

又因为逆序排列是最大的，我们要找最小的，只要把它翻转过来就可以了，然后和前面的连接在一起就得到了下一个排列

代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
string nextpermutation(string a){
	int i,ii,j;
	if(a.size()==1)
	return a;
	i=a.size()-1;
	ii=a.size()-2;
	while(ii>=0&&(a[ii]>=a[i])){//从后面找到最长的逆序子排列
		ii--;
		i--;
	}
	int k=-1;
	if(ii>=0){
		for(j=a.size()-1;j>ii&&k<0;j--){//从逆序排列中找最小的大于第一个非逆序排列数字的数字
			if(a[ii]<a[j]){
				k=j;
			}
		}
		swap(a[k],a[ii]);
	}
	reverse(a.begin()+ii+1,a.end());
	return a;
}
int main(){
	string s,a,b;
	cin>>s;
	for(a=s;b!=s;a=b){
		cout<<a<<endl;
		b=nextpermutation(a);
	}
	return 0;
}