「ZJOI2017」仙人掌

题目大意：

给定一张无向联通图，求有多少种本质不同的不加重边的加边方案使得新图是个仙人掌。

解题思路：

如果原来的图不是仙人掌，那么答案就是 $0$ ，否则求出这个仙人掌的无向图 $\text{dfs}$ 树，任何一条新边都不能覆盖原来已经被覆盖过的边。那么只要把已经覆盖过得边删掉，变成若干棵树的问题，答案就是每棵树的答案的乘积。

一棵树的做法有一个很厉害的转化，因为题目要求不能有重边，我们可以允许转移加重边，并且每条树边必须被覆盖。然后会发现把每一种这样的方案删去重边后，新图就是一个合法图，且和要求的方案一一对应。

那么问题就转化为除了根以外，每一棵子树都要向子树外连恰好一条边的方案数。

考虑节点 $u$ 是根节点，那么 $dp(u)=w(size)\prod dp(v)$ ，$w(size)$ 为 $size$ 个点互相连边，每个点度数 $\leq 1$ 的方案数，$size$ 是 $u$ 的儿子数量。可以理解为，每个儿子的子树要么连到别的儿子的子树里，要么连到 $u$ 。

考虑怎么求 $w(n)$ ，直接考虑组合意义，第 $n$ 个点要么不连边，要么在前面选另外一个点和它连边。

\[w(n)=w(n-1)+w(n-2)\times (n-1)
\]

考虑节点 $u$ 不是根节点的情况，要选出一个点和子树外连边，分两种情况讨论。

选出的点是 $u$ ，方案数就是 $w(size)$
选出的点是子树内的某个点，那么就选一个子树向外连，其它还是正常连，方案数是 $w(size-1)\times size$

那么总方案数就是 $w(size)+w(size-1)\times size =w(size+1)$ 。

然后就做完了，复杂度 $\mathcal O(n)$ 。

code

/*program by mangoyang*/

#include<bits/stdc++.h>

#define inf (0x7f7f7f7f)

#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

typedef long long ll;

using namespace std;

template <class T>

inline void read(T &x){

    int ch = 0, f = 0; x = 0;

    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;

    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;

    if(f) x = -x;

}

const int N = 500005, mod = 998244353;

map<int, int> ban[N];

vector<int> g[N];

int dfn[N], sum[N], dp[N], w[N], isr[N], n, m, Index;

inline void dfs1(int u, int fa){

	dfn[u] = ++Index;

	for(int i = 0; i < (int) g[u].size(); i++){

		int v = g[u][i];

		if(v == fa) continue;

		if(dfn[v]){

			ban[u][v] = 1;

			if(dfn[v] < dfn[u]) sum[u]++, sum[v]--;

		}

		else dfs1(v, u);

	}

}

inline int dfs2(int u){

	for(int i = 0; i < (int) g[u].size(); i++)

		if(dfn[g[u][i]] > dfn[u] && !ban[u][g[u][i]]){

			if(dfs2(g[u][i])) return 1;

			sum[u] += sum[g[u][i]];

		}

	if(sum[u] > 1) return 1;

	if(sum[u] == 1) isr[u] = 1; return 0;

}

inline void dfs3(int u){

	int size = 0; dp[u] = 1;

	for(int i = 0; i < (int) g[u].size(); i++){

		int v = g[u][i];

		if(isr[v] || dfn[v] < dfn[u]) continue;

		size++;

		dfs3(v), dp[u] = 1ll * dp[u] * dp[v] % mod;

	}

	if(!size) return;

	if(isr[u]) dp[u] = 1ll * dp[u] * w[size] % mod;

	else dp[u] = 1ll * dp[u] * w[size+1] % mod;

}

int main(){

	w[0] = w[1] = 1;

	for(int i = 2; i < N; i++)

		w[i] = (1ll * w[i-2] * (i - 1) + w[i-1]) % mod;

	int T; read(T);

	while(T--){

		Index = 0;

		for(int i = 1; i <= n; i++)

			g[i].clear(), ban[i].clear(), dp[i] = dfn[i] = isr[i] = sum[i] = 0;

		read(n), read(m);

		for(int i = 1, x, y; i <= m; i++){

			read(x), read(y);

			g[x].push_back(y), g[y].push_back(x);

		}

		dfs1(1, 0);

		if(dfs2(1)){ puts("0"); continue; }

		int res = 1;

		isr[1] = 1;

		for(int i = 1; i <= n; i++) if(isr[i]){

			dfs3(i), res = 1ll * res * dp[i] % mod;

		}

		printf("%d\n", res);

	}

	return 0;

}