[PKUWC2018] 随机游走

Description

给定一棵 $n$ 个结点的树，你从点 $x$ 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 $Q$ 次询问，每次询问给定一个集合 $S$，求如果从 $x$ 出发一直随机游走，直到点集 $S$ 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。

特别地，点 $x$（即起点）视为一开始就被经过了一次。

答案对 $998244353 $ 取模。

Solution

考虑 min-max 容斥，问题变成求从 $x$ 点出发第一次到集合 $S$ 中的点的期望步数

枚举集合 $S$，尝试树形DP求出

设 $f(i,S)$ 表示从点 $i$ 出发第一次到达集合 $S$ 中的点的期望步数

则有转移 $f(i,S)=1+\frac1{deg(i)}\cdot f(fa[i],S)+\frac1{deg(i)}\sum\limits_{son}f(son,S)$

根据我从没见过的树形DP常见套路，$f(i)$ 一般都可以写成 $A\cdot f(fa)+B$ 的形式

然后推式子

\[f(i,S)=1+\frac1{deg(i)}\cdot f(fa[i],S)+\frac1{deg(i)}(\sum\limits_{son}A(son)\cdot f(x)+B(son))
\]

\[f(i,S)=\frac1{deg(i)-\sum\limits_{son}A(son)}\cdot f(fa[i],S)+\frac{deg(i)+\sum\limits_{son}B(son)}{deg(x)-\sum\limits_{son}A(son)}
\]

得:$A(i)=\frac1{deg(i)-\sum\limits_{son}A(son)},B(i)=\frac{deg(i)+\sum\limits_{son}B(son)}{deg(x)-\sum\limits_{son}A(son)}$

当DP到一个 $S$ 集合中的节点 $p$ 时，令 $A(p)=B(p)=0$，表示从这个点出发期望走 $0$ 步就可以到达集合 $S$ 中的点。最后的 $B(x)$ 就是答案（因为 $f(fa[x])$ 始终为 $0$ )

Code

#include<bits/stdc++.h>

using std::min;

using std::max;

using std::swap;

using std::vector;

typedef double db;

typedef long long ll;

#define pb(A) push_back(A)

#define pii std::pair<int,int>

#define all(A) A.begin(),A.end()

#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)

#define int long long

const int N=19;

const int mod=998244353;

int a[N],b[N],f[1<<N],cnts[1<<N];

int n,q,s,cnt,maxn,head[N],deg[N];

struct Edge{

    int to,nxt;

}edge[N<<1];

void add(int x,int y){

    edge[++cnt].to=y;

    edge[cnt].nxt=head[x];

    head[x]=cnt;

}

int ksm(int a,int b=mod-2,int ans=1){

    while(b){

        if(b&1) ans=ans*a%mod;

        a=a*a%mod;b>>=1;

    } return ans;

}

void dfs(int now,int fa,int S){

    if(S>>now-1&1) return a[now]=b[now]=0,void();

    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){

        int to=edge[i].to;

        if(to==fa) continue;

        dfs(to,now,S);

        (a[now]+=a[to])%=mod;(b[now]+=b[to])%=mod;

    } a[now]=ksm((deg[now]-a[now]+mod)%mod);b[now]=(b[now]+deg[now])%mod*a[now]%mod;

}

int getint(){

    int X=0,w=0;char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();

    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();

    if(w) return -X;return X;

}

signed main(){

    n=getint(),q=getint(),s=getint();maxn=1<<n;

    for(int i=1;i<n;i++){

        int x=getint(),y=getint();

        add(x,y),add(y,x);deg[x]++;deg[y]++;

    }

    for(int i=1;i<maxn;i++){

        cnts[i]=cnts[i>>1]+(i&1);

        memset(a,0,sizeof a),memset(b,0,sizeof b);

        dfs(s,0,i);

        f[i]=(cnts[i]&1?b[s]:mod-b[s]);

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=1;j<maxn;j++)

            if(j>>i-1&1) (f[j]+=f[j^(1<<i-1)])%=mod;

    while(q--){

        int len=getint(),x=0;

        while(len--) x|=1<<getint();

        printf("%lld\n",f[x>>1]);

    } return 0;

}